圆锥曲线：有关双曲线的6类小题总结讲义-2024届高三数学二轮复习

圆锥曲线：有关双曲线的6类小题总结 题型一:轨迹类 1.定义类 【例1】动点到点及点的距离之差为，则当和时，点的轨迹分别是（ ） A．双曲线和一条直线B．双曲线和一条射线C．双曲线的一支和一条射线D．双曲线的一支和一条直线 练1.在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为. （1）求的方程； 2.定义+几何 【例2】已知定点，，M是上的动点，关于点M的对称点为N，线段的中垂线与直线交于点P，则点P的轨迹是（       ） A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．直线 练1.在平面直角坐标系中，已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线，则曲线的方程为________. 练2.已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) A．x2－＝1 B.－y2＝1 C．x2－＝1(x≤－1) D．x2－＝1(x≥1) 3.代数类 【例3】已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是．求点M的轨迹方程，并判断轨迹的形状． 练1.动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹． 题型二：利用双曲线定义求参数范围 1.双曲线的标准方程　． 【例1】“”是“为双曲线”的（       ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 练1.已知曲线的方程为，下列说法正确的是（       ） A．若，则曲线为椭圆 B．若，则曲线为双曲线 C．若曲线为焦点在轴的椭圆，则 练2.（多选）曲线C的方程为，则下列说法正确的是（       ） A．存在实数使得曲线C的轨迹为圆 B．存在实数使得曲线C的轨迹为椭圆 C．存在实数使得曲线C的轨迹为双曲线 D．无论（且）取何值，曲线C的焦距为定值 题型三：双曲线焦点三角形 【例1】双曲线过焦点的弦AB，A、B两点在同一支上且长为m，另一焦点为，则的周长为（       ）． A．4a B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m 【例2】设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为．是上一点，且．若△的面积为，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【例3】已知，是双曲线C：的左、右焦点，M，N是C上关于原点对称的两点，且，则四边形的面积是______． 题型四：焦点三角形面积公式（二级结论） 设点是双曲线上异于实轴端点的任一点，,为其焦点，记,,当时，有. 证明：,, , ,,易得，时，有. 【例4】设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为．是上一点，且．若△的面积为，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 题型五：利用双曲线线定义转化为三点共线问题求最值 【例1】设是双曲线的右支上的点，则的最小值为（       ） A． B． C． D．5 【例2】双曲线方程为的左、有焦点分别为，点Q为双曲线右支上的一点，点．当取最小值时，的值为（       ） A． B． C． D． 【例3】已知，分别是双曲线：的左，右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆：上一动点，则的最小值为______． 【例4】已知点在双曲线的右支上，，动点满足，是双曲线的右焦点，则的最大值为___________. 【例5】设P是双曲线上一点，M､N分别是两圆和上的点，则的最大值为（       ） A．6 B．9 C．12 D．14 题型六： 双曲线与渐近线有关的考题 焦点在轴上的渐近线为焦点在轴上的渐近线为 若双曲线的方程为，要求渐近线只需令，解出即可 即已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。 【例1】若双曲线的渐近线与圆相切，则_________． 【例2】设是双曲线的左，右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为 （ ） A． B．2 C． D． 【例4】已知点，是双曲线的左､右顶点，过点作倾斜角为的直线交于点，点是线段的中点.若，则该双曲线的离心率为（       ） A． B． C．2 D． 【例5】已知，，若曲线上存在点满足，则的取值范围是___________. 【例6】已知直线l的方程为，双曲线C的方程为.若直线l与双曲线C的右支相交于不同的两点，则实数k的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【例7】直线l过点（2，1），且与双曲线有且只有一个公共点，则这样的不同直线的条数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆锥曲线：有关双曲线的6类小题总结 题型一:轨迹类 1.定义类 【例1】动点到点及点的距离之差为，则当和时，点的轨迹分别是（