第二十七章 专题训练(五) 相似三角形与圆综合-【四清导航•辽宁专版】2022-2023学年九年级数学下册作业课件(人教版)

专题训练(五)　相似三角形与圆综合 第二十七章　相似 数学 九年级下册 人教版 四清导航 考情展示 (2022·营口)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D. (1)求证：∠D＝∠EBC； (2)若CD＝2BC，AE＝3，求⊙O的半径． 2 B 9 5 ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ 解：(1)证明：∵AD与⊙O相切于点A，∴∠DAO＝90°，∴∠D＋∠ABD＝90°，又∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠BEC＝180°－∠AEB＝90°，∴∠ACB＋∠EBC＝90°，又∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∴∠D＝∠EBC　(2)∵CD＝2BC，∴BD＝3BC，∵∠DAB＝∠CEB＝90°，∠D＝∠EBC，∴△DAB∽△BEC，∴ eq \f(AB,EC) ＝ eq \f(BD,BC) ＝3，∴AB＝3EC，∴AE＋EC＝3EC，∴3＋EC＝3EC，∴EC＝1.5，∴AB＝3EC＝4.5，∴⊙O的半径为2.25 针对训练 1．如图，圆内接四边形ABDC的边BA，DC的延长线交于点P，AD，BC相交于点E，则图中相似三角形有(　　) A．5对 B．4对 C．3对 D．2对 2．(鞍山期末)如图，点A，B，C，D在⊙O上，AD是⊙O的直径，且AD＝3 eq \r(2) ，若∠ABC＝∠CAD，BC交AD于点E，则CE·BC为____. 3．(沈阳中考)如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥MN于点D. (1)求证：∠ABC＝∠CBD； (2)若BC＝4 eq \r(5) ，CD＝4，求⊙O的半径． 解：(1)证明：连接OC，∵MN为⊙O的切线，∴OC⊥MN，又∵BD⊥MN，∴OC∥BD，∴∠CBD＝∠BCO.又∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠ABC，∴∠CBD＝∠ABC　(2)连接AC，在Rt△BCD中，BC＝4 eq \r(5) ，CD＝4，∴BD＝ eq \r(BC2－CD2) ＝8.又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠ACB＝∠CDB＝90°.∵∠ABC＝∠CBD，∴△ABC∽△CBD，∴ eq \f(AB,BC) ＝ eq \f(CB,BD) ，即 eq \f(AB,4\r(5)) ＝ eq \f(4\r(5),8) ，∴AB＝10，∴⊙O的半径是5 4．(营口中考)如图，AB是⊙O直径，点C，D为⊙O上的两点，且AD＝CD，连接AC，BD交于点E，⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，A为切点． (1)求证：AF＝AE； (2)若AB＝8，BC＝2，求AF的长． 解：(1)证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADF＝90°，∴∠F＋∠DAF＝90°，∵AF是⊙O的切线，∴∠FAB＝90°，∴∠F＋∠ABF＝90°，∴∠DAF＝∠ABF，∵AD＝CD，∴∠ABF＝∠CAD，∴∠DAF＝∠CAD，∴∠F＝∠AEF，∴AF＝AE　(2)∵AB是⊙O直径，∴∠C＝90°，∴AC＝ eq \r(AB2－BC2) ＝ eq \r(82－22) ＝2 eq \r(15) ，∵∠C＝∠FAB＝90°，∠CEB＝∠AEF＝∠F，∴△BCE∽△BAF，∴ eq \f(BC,AB) ＝ eq \f(CE,AF) ，即 eq \f(2,8) ＝ eq \f(CE,AF) ，∴CE＝ eq \f(1,4) AF，∵AF＝AE，∴CE＝ eq \f(1,4) AE，∵AE＋CE＝AC＝2 eq \r(15) ，∴AE＝ eq \f(8\r(15),5) ，∴AF＝AE＝ eq \f(8\r(15),5) 5．(丹东中考)如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D是BC的中点，过点D作EF∥BC分别交AB，AC的延长线于点E和点F，连接AD，BD，∠ABC的角平分线BM交AD于点M. (1)求证：EF是⊙O的切线； (2)若AB∶BE＝5∶2，AD＝ eq \r(14) ，求线段DM的长． 解：(1)证明：连接OD，∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，∴OD⊥BC.∵BC∥EF，∴OD⊥EF，∴EF为⊙O的切线　(2)设BC，AD交于点N，∵AB∶BE＝5∶2，AD＝ eq \r(14) ，EF∥BC，∴ eq \f(AN,DN) ＝ eq \f(AB,BE) ＝ eq \f(5,2) ，∴DN＝ eq \f(2,7) eq \r(14) ，∵点D是BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD＝∠CBD，又∵∠BDN＝∠ADB，∴△BDN∽△ADB，∴ eq \f(DN,DB) ＝ eq \f(BD,AD) ，∴BD＝2，∵∠ABC的角平分线BM交AD于点M，∴∠ABM＝∠CBM，∴∠ABM＋∠B