5.1.1 一、正弦函数的图象 课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

1.5.1 正弦函数的图象 1．用描点法画出y=的图象，进一步理解正弦函数的性质； 2．利用正弦函数的图象再认识其性质（定义域、周期性、单调性、最值、值域、奇偶性、图象与x轴的交点等性质）； 3．通过对正弦函数图象研究的过程，深化对一般函数研究方法的再认识，通过从单位圆和图象两个不同的角度去观察和认识三角函数的变化规律，提高学生直观想象素养． 利用描点法画出正弦函数图象，通过图象对函数的性质再认识． 描点法画y=的图象． 2 导入 有人说： 人生就像一条正弦曲线，波峰波谷交替出现…… 导入 1.正弦函数的定义？ 2.正弦函数的性质？ 在弧度意义下，α为任意角即α， 如图：设P（u，v）为角α终边与单位圆的交点， 则称v=sinα为任意角α的正弦函数 x O M y P(u,v) 1 α y= 定义域：R 值域：[-1，1] 周期性：最小正周期为 最值 当，时，取得最大值1  当时，取得最小值-1  单调性 增区间 ， 减区间 ， 由于正弦函数是以为最小正周期的周期函数，要作出y=的图象，可分两步进行： ①作出y=上的图象 ②将y=上的图象左右平移得 y=的图象 5 新知探究 问题探究一：用描点法画y=在上的图象 基本步骤：列表、描点、连线 一、画正弦函数一个周期的图象 6 新知探究 第一步：列表 问题1.选取上的x 来列表？随机取值还是等距取值？ （取值越多画的图将越精确） 将区间12等分，取值列表如下 0 0 1 0 0 问题2.表格中有一些无理数，怎样在平面直角坐标系中比较准确地描出对应点？ 7 第二步：描点 问题2.表格中有一些无理数，怎样在平面直角坐标系中比较准确地描出对应点？ （1）是多大？课本第11页模型1－13（见下图）对你有什么启示？ 新知探究 （课本第11页模型1－13）单位圆M与数轴相切于原点O,把数轴看成一个“皮尺”.对于任意一个正数a,它对应正半轴上的点A,把线段OA 按逆时针方向缠绕到圆M 上,点A 对应单位圆上点A’ 这样就得到一个以点M为顶点,以MO为始边，经过逆时针转以 MA’ 为终边的圆心角，该角的弧度数为正数 a. 第二步：描点 问题2.表格中有一些无理数，怎样在平面直角坐标系中比较准确地描出对应点？ （1）是多大？课本第11页模型1－13（见下图）对你有什么启示？ 新知探究 新知探究 表示弧度制下的任意角。 在单位圆中，每一段弧的长度就是它所对圆心角的弧度数； sin是角的终边与单位圆交点的纵坐标。 x O M y P(u, ) 0 sin 问题2.（2）回顾正弦函数定义，对于正弦函数图象上任意一个点（,sin ）， 在单位圆上表示哪个几何量？sin的几何意义又是什么？ 根据上述分析，你能作出点（，sin）吗？ 怎么比较准确描出点（，sin）？ 第二步：描点 10 新知探究 作单位圆，把Ｏ12等分（当然分得越细，图像越精确）； 12等分后得到对应于0，，，，……，2的角，并作出相应的正弦值； 利用“细线缠绕法”在轴上标出 0，，，，……，2； 平移相应角的正弦值； 描点，用平滑曲线顺次连接，就得到y=在区间上的图象 第二步：描点 连线 步骤如下： 11 第三步：连线 二、左右平移得正弦函数的图象 由周期性，函数y=在区间上与在区间上的函数图象形状完全相同，将函数y=，的图象向左、右平移（每次平移个单位长度），就可以得到正弦函数y=，的图象（如图）．正弦函数的图象叫做正弦曲线． 13 (0，0)， (，1) ， (π，0)， (，-1)， (2π，0) 这五个点起关键性作用． 在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就得到这个函数一个周期的简图．这种作正弦函数图象的方法称为“五点（画图）法”． 问题3.观察y=的图象，哪些点比较关键？为什么？ 14 数无形时少直觉，形少数时难入微。 数形结合百般好，隔离分家万事非。 ——华罗庚 问题4.观察正弦函数图象，你能从中看到哪些性质，并将看到的性质用数学语言描述． 三、正弦函数的的性质 结合函数图象以及利用单位圆得到的正弦函数的性质，可知， 正弦函数的定义域为R，值域为当，时，正弦函数y=取得最大值1；当时，正弦函数取得最小值． 正弦函数的周期为，k∈Z，其中最小正周期为； 对于任意的，正弦函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． 16 追问：借助函数图象探究正弦函数图象的对称性，它有对称轴吗？有对称中心吗？如果有，请写出它的对称轴方程和对称中心的坐标；如果没有，请说明理由． 由正弦型函数图象可以看出，正弦函数的对称轴为 对称中心为． 1