13.3 空间图形的表面积和体积（七大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）

13.3 空间图形的表面积和体积 课程标准 学习目标 （1）能运用柱体、锥体、台体的表面积、体积公式进行计算和解决有关实际问题. （2）培养空间想象能力和思维能力． （1）通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法. （2）了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式. （3）掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关空间图形的体积. （4）了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积. （5）会求简单组合体的体积及表面积． 知识点01 棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表： 项目 名称 底面 侧面 棱柱 平面多边形 平行四边形 面积=底·高 棱锥 平面多边形 三角形 面积=·底·高 棱台 平面多边形 梯形 面积=·（上底+下底）·高 知识点诠释： 求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积． 【即学即练1】（2024·高二·北京海淀·阶段练习）在长方体中，.该长方体的表面积为（　　） A． B． C． D． 知识点02 圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积． 1、圆柱的表面积 （1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r，母线长，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr，宽等于圆柱侧面的母线长（也是高），由此可得． （2）圆柱的表面积：． 2、圆锥的表面积 （1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r，母线长为，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr，半径等于圆锥侧面的母线长为，由此可得它的侧面积是． （2）圆锥的表面积：S圆锥表． 3、圆台的表面积 （1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为、r，母线长为，那么这个扇形的面积为，即圆台的侧面积为． （2）圆台的表面积：． 知识点诠释： 求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系． 【即学即练2】（2024·高一·河南·期中）已知一个圆锥的底面半径为1，高为1，且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱，则此圆柱侧面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 知识点03 柱体、锥体、台体的体积 1、柱体的体积公式 棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即． 圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是． 综上，柱体的体积公式为． 2、锥体的体积公式 棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积． 圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用πr2表示S，则． 综上，锥体的体积公式为． 3、台体的体积公式 棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S＇、S，高是h，那么它的体积是． 圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r＇、r，高是h，那么它的体积是 ． 综上，台体的体积公式为． 【即学即练3】（2024·高三·河北衡水·阶段练习）分别为正四棱台的上、下底面的中心，且，则正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 知识点04 球的表面积和体积 1、球的表面积 （1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积． （2）球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积公式S球=4πR2． 即球面面积等于它的大圆面积的四倍． 2、球的体积 设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数． 球的体积公式为． 【即学即练4】（2024·高一·河南·阶段练习）已知两平行的平面截球所得截面圆的面积分别为9π和16π，且两截面间的距离为1，则该球的体积为 ． 题型一：棱柱、棱锥、棱台的表面积 【典例1-1】（2024·河南·模拟预测）如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高二·新疆·阶段练习）已知棱长为2，各面均为等边三角形的四面体，则其表面积为（　　） A．12 B． C． D． 【变