导数零点问题（一） 讲义-2024届高三数学二轮复习

零点问题 (一) 确定函数零点个数 1.研究函数零点的技巧 用导数研究函数的零点,一方面用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断；函数的单调性是函数最重要的性质，但是题目为了增加问题的复杂性、抽象性，往往会在函数的表达式中添加一个甚至多个参数，这时候就需要我们对参数进行讨论了. 在处理问题时，形成这种流程化的解题思路实际上对于我们处理问题很重要。在分析单调性时，判断导函数是否存在零点？若存在，有几个？零点与定义域或者指定区间的位置关系能判断吗？若定义域内有多个零点，零点之间的大小关系能判断吗？这几个问题就是引起讨论的主要因素.另一方面,也可将零点问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合来解决．对于函数零点个数问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值；从图象的对称性,分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别,论证是充要关系,要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数． 2. 判断函数零点个数的常用方法 (1)直接研究函数,求出极值以及最值,画出草图．函数零点的个数问题即是函数图象与x轴交点的个数问题． (2)分离出参数,转化为a＝g(x),根据导数的知识求出函数g(x)在某区间的单调性,求出极值以及最值,画出草图．函数零点的个数问题即是直线y＝a与函数y＝g(x)图象交点的个数问题．只需要用a与函数g(x)的极值和最值进行比较即可． 3. 处理函数y=f(x)与y=g(x)图像的交点问题的常用方法 (1)数形结合,即分别作出两函数的图像,观察交点情况; (2)将函数交点问题转化为方程f(x)=g(x)根的个数问题,也通过构造函数y=f(x)-g(x),把交点个数问题转化为利用导数研究函数的单调性及极值,并作出草图,根据草图确定根的情况. 4.找点时若函数有多项有时可以通过恒等变形或放缩进行并项，有时有界函数可以放缩成常数，构造函数时合理分离参数，避开分母为0的情况. 【例1】已知函数． (2)已知时，讨论函数的零点个数． （2）求出函数及其导数，利用导数分类讨论的单调性，最值，结合零点存在性定理推理判断作答. 【详解】（1）当时，，则切线斜率，切点为， 所以切线方程为，即. （2）函数的定义域为R，求导得， ①当时，在R上单调递增，而， 因此函数有一个零点； ②当时，令，得，当时，； 当时，，则在上单调递减，在上单调递增， ，令（表示中最小值） 当时，，函数在上单调递减，函数值集合为， 因此函数在上的取值集合为， 令，求导得，令， 则，即函数在上单调递增，， 函数在上单调递增，，即有， 当时，， 函数在上单调递增，函数值集合为，而， 因此函数在上的取值集合为， 设， 则，当时，在单调递增， 当时，在单调递减，， 即当时，，则有两个零点； 当时，，则有一个零点； 当时，，则没有零点． 所以当时，零点个数为0；当时，零点个数为1；当时，零点个数为2. 【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题. 【例2】（2024·成都模拟）已知函数求函数在区间上的零点个数（为自然对数的底数）. （2）由已知可得，利用导数求出函数在上的最小值，再分段讨论并结合零点存在性定理求解即得. （2）由区间，得，则，函数，， 求导得，当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增，， 设函数，求导处，在上是增函数， 于是，即， ①当，即时，函数在上无零点； ②当，即时，函数在上无零点；   ③当，即时， ， 显然，，， 令，求导得， 令，求导得， 令，求导得 则， 则函数在上单调递增，， 函数在上单调递增，， 于是函数在上单调递增，， 因此，即函数在上有一个零点， 所以当时，函数无零点；当时，函数有一个零点 【点睛】思路点睛：涉及函数零点个数问题，可以利用导数分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题. 【例3】（2024·泰安一模）已知函数．若对任意的且，函数，证明：函数在上存在唯一零点． （2）通过变形得，，再通过构造函数证明，则可得证. （2）， ， 在上单调递增， 又 设，则， 令，解得， 当时，单调递减；当时，单调递增， 当时，，即， ， 又， ， 存在，使得， 又在上单调递增， 函数在上存在唯一零点. 【点睛】导数中函数的含参数的问题的讨论，需要考虑下面的几个方面：（1）把导函数充分变形，找出决定导数符号的核心代数式，讨论其零点是否存在，零点是否在给定的范围中；（2）零点不容易求得时，需要结合原函数的形式去讨论，有时甚至需要把原函数放缩去讨论；（3）如果导数也比较复杂，可以进一步