理科数学-2024届高三1月大联考考后强化卷（全国乙卷）

绝密★启用前 2024届高三1月大联考考后强化卷（全国乙卷） 理科数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若集合，，则 A． B． C． D． 2．已知复数，则的共轭复数是 A．2 B． C． D． 3．已知向量，满足，，，则向量，夹角的余弦值为 A． B． C． D． 4．在等比数列中，若，则 A．6 B．9 C． D． 5．已知在上是增函数，则的取值范围是 A． B． C． D． 6．已知高为5的圆锥的顶点和底面圆都在球的表面上，若球的体积为，则这个圆锥的体积为 A． B． C． D． 7．甲、乙、丙、丁4名同学组成两队进行乒乓球比赛，先从4人中选出2人组成一队，剩下的两名同学组 成另一队，则甲、乙两名同学不在同一队的概率为 A． B． C． D． 8．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且，为坐标原点，则 A． B． C．4 D．5 9．已知函数．若，，且在上有且仅有1个零点，则 实数的取值范围为 A． B． C． D． 10．如图，在棱长为2的正方体中，点分别在线段和上，则下列结论中正确的个数是 的最小值为2；四面体的体积为；有且仅有一条直线与垂直. A．0 B．1 C．2 D．3 11．已知双曲线的离心率为，焦点为，且，为双曲线上任意一点，过点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为，则的值为 A． B． C． D．与点的位置有关 12．已知，分别为定义在R上的，的导函数，且，，若是偶函数，则下列结论一定正确的是 A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称 C．3是的一个周期 D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．的展开式中的系数为 ．（用数字作答） 14．若x，y满足约束条件，则的最大值是 ． 15．若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是 ． 16．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.已知，S为的面积，则的最大值是 ． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分） 已知等差数列的前项和为． （1）求的通项公式； （2）记数列的前项和为，求． 18．（12分） 某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入x（亿元）与产品收益y（亿元）的数据统计如下： 研发投入x（亿元） 1 2 3 4 5 产品收益y（亿元） 3 7 9 10 11 （1）计算x，y的样本相关系数r，并判断是否可以认为研发投入x与产品收益y具有较强的线性相关程度；（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较强） （2）求出y关于x的回归直线方程，并预测研发投入为20亿元时的产品收益． 参考数据：，，． 附：相关系数：，回归直线方程中，． 19．（12分） 如图，在四棱锥中，底面为矩形，为直角三角形， ，的面积是的面积的倍． （1）求证：平面平面； （2）若为棱上的一点，四棱锥的体积为四棱锥的体积的一半，求直线与平面所成角的正弦值． 20．（12分） 已知焦距为2的椭圆：，，分别为椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，且的周长为8． （1）求椭圆的方程； （2）若过点的直线与椭圆交于，两点且满足，求四边形面积的最小值． 21．（12分） 已知函数. （1）若，求的图象在点处的切线方程； （2）设存在两个极值点且，若，求证：. （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为. （1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程； （2）已知点，直线l与曲线C交于M，N两点，求的值. 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）若函数的最小值为，且（，），求证：． ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○