精品解析：上海市四校（复兴高级中学、松江二中、奉贤中学、金山中学）2024届高三下学期3月联考数学试卷

上海市2024届高三年级第二学期联考数学试卷 （复兴高级中学，松江二中，奉贤中学，金山中学） 2024.03.14 考试时间：120分钟 满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 已知复数满足（为虚数单位），则______. 2. ______ . 3. 若函数为偶函数，则实_______． 4. 中国古典数学的代表作有《算数书》《九章算术》《周髀算经》《孙子算经》等.学校图书馆计划将这四本书借给名学生阅读，要求每人至少读一本，则不同的借阅方式有_______种(用数字作答). 5. 已知数列前项和，，则_________. 6. 对于独立事件A、B，若，，则______. 7. 在的二项展开式中，的系数为______. 8. 已知向量，满足，，，则等于____________． 9. 已知点在圆C：（）内，过点M的直线被圆C截得的弦长最小值为8，则______． 10. 已知x，y的对应值如下表所示： 0 2 4 6 8 1 13 若y与x线性相关，且回归直线方程为，则______． 11. 若不等式对任意的恒成立，则的最小值为_____________． 12. 如图，这是某同学绘制的素描作品，图中的几何体由一个正四棱锥和一个正四棱柱贯穿构成，正四棱柱的侧棱平行于正四棱锥的底面，正四棱锥的侧棱长为，底面边长为6，正四棱柱的底面边长为是正四棱锥的侧棱和正四棱柱的侧棱的交点，则__________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分） 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，13-14选对得 4分，15-16选对得 5分，否则一律得零分. 13. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 14. 已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（ ） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条 15. 以下四个命题： ①函数最小值为； ②方程没有整数解； ③若，则； ④不等式的解集为. 其中真命题个数为（ ） A. B. C. D. 16. 已知农历每月的第天的月相外边缘近似为椭圆的一半，方程为，其中为常数．根据以上信息，下列说法中正确的有（ ） ①农历每月第天和第天月相外边缘形状相同； ②月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为； ③月相外边缘的离心率第8天时取最大值； ④农历初六至初八的月相外边缘离心率在区间内． A. ①③ B. ②④ C. ①② D. ③④ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17. 在如图所示的圆锥中，是顶点，是底面的圆心，、是圆周上两点，且，． （1）若圆锥侧面积为，求圆锥的体积； （2）设圆锥的高为2，是线段上一点，且满足，求直线与平面所成角的正切值． 18. 设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. （Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望； （Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率. 19. 如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，米，广场的一角是半径为16米的扇形BCE绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN（宽度不计），点M在线段AD上，并且与曲线CE相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN（宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为2a元，单人弧形椅的造价每米为a元，记锐角，总造价为W元． （1）试将W表示为的函数，并写出的取值范围； （2）问当AM长为多少时，能使总造价W最小． 20. 在中，已知，，设分别是的重心、垂心、外心，且存在使. （1）求点的轨迹的方程； （2）求的外心的纵坐标的取值范围； （3）设直线与的另一个交点为，记与的面积分别为，是否存在实数使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 21. 固定项链两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．类比三角函数的三种性质：①平方关系：；②两角和公式：，③导数：定义双曲正弦函数． （1）直接写出，具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）； （2）当时，双曲正弦函数的图像总在直线的上方，求直线斜率的取值范围； （3）无