押题02 第19题 压轴新题型综合（十一大题型）-冲刺2024年高考数学考点押题模拟预测卷（新高考专用）

押题02 第19题 压轴新题型综合（十一大题型） 1．（2023•北京）数列{an}，{bn}的项数均为m（m＞2），且an，bn∈{1，2，⋯，m}，{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，并规定A0＝B0＝0．对于k∈{0，1，2，⋯，m}，定义rk＝max{i|Bi≤Ak，i∈{0，1，2，⋯，m}}，其中，maxM表示数集M中最大的数． （Ⅰ）若a1＝2，a2＝1，a3＝3，b1＝1，b2＝3，b3＝3，求r0，r1，r2，r3的值； （Ⅱ）若a1≥b1，且2rj≤rj+1+rj﹣1，j＝1，2，⋯，m﹣1，求rn； （Ⅲ）证明：存在0≤p＜q≤m，0≤r＜s≤m，使得Ap+Bs＝Aq+Br． 2．（2022•北京）已知Q：a1，a2，…，ak为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的n∈{1，2，…，m}，在Q中存在ai，ai+1，ai+2，…，ai+j（j≥0），使得ai+ai+1+ai+2+…+ai+j＝n，则称Q为m﹣连续可表数列． （Ⅰ）判断Q：2，1，4是否为5﹣连续可表数列？是否为6﹣连续可表数列？说明理由； （Ⅱ）若Q：a1，a2，…，ak为8﹣连续可表数列，求证：k的最小值为4； （Ⅲ）若Q：a1，a2，…，ak为20﹣连续可表数列，且a1+a2+…+ak＜20，求证：k≥7． 3．（2021•北京）设p为实数．若无穷数列{an}满足如下三个性质，则称{an} 为ℜp数列： ①a1+p≥0，且a2+p＝0； ②a4n﹣1＜a4n（n＝1，2，…）； ③am+n∈{am+an+p，am+an+p+1}（m＝1，2，…；n＝1，2，…）． （Ⅰ）如果数列{an}的前四项为2，﹣2，﹣2，﹣1，那么{an}是否可能为ℜ2数列？说明理由； （Ⅱ）若数列{an}是ℜ0数列，求a5； （Ⅲ）设数列{an}的前n项和为Sn，是否存在ℜp数列{an}，使得Sn≥S10恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，说明理由． 4．（2023•上海）已知函数f（x）＝ax3﹣（a+1）x2+x，g（x）＝kx+m（其中a≥0，k，m∈R），若任意x∈[0，1]均有f（x）≤g（x），则称函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的“控制函数”，且对所有满足条件的函数y＝g（x）在x处取得的最小值记为（x）． （1）若a＝2，g（x）＝x，试判断函数y＝g（x）是否为函数y＝f（x）的“控制函数”，并说明理由； （2）若a＝0，曲线y＝f（x）在x处的切线为直线y＝h（x），证明：函数y＝h（x）为函数y＝f（x）的“控制函数”，并求（）的值； （3）若曲线y＝f（x）在x＝x0，x0∈（0，1）处的切线过点（1，0），且c∈[x0，1]，证明：当且仅当c＝x0或c＝1时，（c）＝f（c）． 5．（2021•上海）已知x1，x2∈R，若对任意的x2﹣x1∈S，f（x2）﹣f（x1）∈S，则有定义：f（x）是在S关联的． （1）判断和证明f（x）＝2x﹣1是否在[0，+∞）关联？是否有[0，1]关联？ （2）若f（x）是在{3}关联的，f（x）在x∈[0，3）时，f（x）＝x2﹣2x，求解不等式：2≤f（x）≤3． （3）证明：f（x）是{1}关联的，且是在[0，+∞）关联的，当且仅当“f（x）在[1，2]是关联的”． 6．（2020•上海）已知非空集合A⊆R，函数y＝f（x）的定义域为D，若对任意t∈A且x∈D，不等式f（x）≤f（x+t）恒成立，则称函数f（x）具有A性质． （1）当A＝{﹣1}，判断f（x）＝﹣x、g（x）＝2x是否具有A性质； （2）当A＝（0，1），f（x）＝x，x∈[a，+∞），若f（x）具有A性质，求a的取值范围； （3）当A＝{﹣2，m}，m∈Z，若D为整数集且具有A性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的m的值． 押题02 压轴新题型综合 高考模拟题型分布表 题型序号 题型内容 题号 题型1 集合新题型 1-2 题型2 函数新题型 3-4 题型3 数列新题型 5-6 题型4 数列综合新题型 7-8 题型5 圆锥曲线新题型 9-10 题型6 计数原理与统计概率新题型 11-14 题型7 三角函数与数列、平面解析几何综合新题型 15-16 题型8 导数新题型 17 题型9 导数与数列新题型 18-19 题型10 导数与函数新题型 20-22 题型11 导数与函数、不等式、平面解析几何综合新题型 23 题型1：集合新题型 1．（2024·全国·模拟预测）拓扑学是一个研究图形（或集合）整体结构和性质的一门几何学，以抽象而严谨的语言将几何与集合联系起来，富有直观和逻辑．已知平面，定义对，，其度量（距离）并称为一度量平面．设，，称平