安徽省舒城中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷

2023-2024学年安徽省六安市舒城中学高二（下）开学数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.甲乙两人独立的解同一道题，甲乙解对的概率分别是，，那么至少有人解对的概率是(    ) A. B. C. D. 2.在三角形中，，，，则(    ) A. B. C. D. 3.已知函数，则使成立的实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 4.如图，下列正方体中，为下底面的中心，，为正方体的顶点，为所在棱的中点，则满足直线的是(    ) A. B. C. D. 5.若直线为曲线的一条切线，则实数的值是(    ) A. B. C. D. 6.在中，为的角平分线，在线段上，若，，则(    ) A. B. C. D. 7.已知半径为的圆经过点，过点向圆作切线，则切线长的最大值为(    ) A. B. C. D. 8.已知中，边上的高为，为上一动点，满足，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知双曲线：的左，右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率可能的值为(    ) A. B. C. D. 10.设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是(    ) A. B. C. 是数列中的最大项 D. 11.如图，已知正方体的棱长为，点为的中点，点为该正方体的上底面上的动点，则(    ) A. 满足平面的点的轨迹长度为 B. 存在唯一的点满足 C. 满足的点的轨迹长度为 D. 存在点满足 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若抛物线上一点到焦点的距离为，则 ______． 13.在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆， 上，则____________． 14.设数列满足，，若且数列的前项和为，则 ______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 在平面直角坐标系中，已知半径为的圆与直线：相切，圆心在轴的负半轴上． 求圆的方程； 若直线：与圆相交于，两点，且的面积为，求直线的方程． 16.本小题分 已知数列是首项为的正项数列，且，若数列满足且． 求数列、的通项公式； 求数列的前项和． 17.本小题分 已知函数的部分图象如图所示，其中，，且． 求与的值； 若斜率为的直线与曲线相切，求切点坐标． 18.本小题分 如图，在三棱柱中，底面侧面，，． 证明：平面； 若三棱锥的体积为，为锐角， 求大小； (ⅱ)求平面与平面的夹角的余弦值． 19.本小题分 已知点在椭圆：上，椭圆的左、右焦点分别为、，的面积为． 求椭圆的方程； 设点，在椭圆上，直线，均与圆：相切，记直线，的斜点分别为，． (ⅰ)证明：； (ⅱ)证明：直线过定点． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：没有人解对的概率为，故至少有人解对的概率是， 故选：． 由条件利用相互独立事件的概率乘法公式求得没有人解对的概率，再用减去此概率，即得所求． 本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于基础题． 2.【答案】  【解析】解：在三角形中，，，， 记， 则，， ， ， 即． 故选：． 根据向量的数量积公式求得结果． 本题考查了平面向量数量积公式，属基础题． 3.【答案】  【解析】解：根据题意，函数， 函数在上为增函数，在上为减函数， 故在上为增函数， 若，则有， 等价于或， 解可得：，即不等式的解集为． 故选：． 根据题意，分析的单调性，由此可得原不等式等价于，解可得答案． 本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题． 4.【答案】  【解析】解：在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标系，令正方体棱长为，点， 对于，与不垂直，不是； 对于，是； 对于，与不垂直，不是； 对于，与不垂直，不是． 故选：． 根据给定条件，建立空间直角坐标系，再对每一个选项逐一分析，利用空间位置关系的向量证明推理作答． 本题考查了线线垂直的判定，属于中档题． 5.【答案】  【解析】解：设切点为， 对求导得， 则， 解得． 故选：． 设切点为，根据题意可建立关于，的方程组，解出即可． 本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题． 6.【答案】  【解析】解：如图所示，依题意设， 由，可得 ， 即，即， 显然，可得， 在中，由余弦定理可得 ， 解得． 故选：． 根据角平分线利用三角形等面积公式可得，再由余弦定理即可求得． 本题考查