1.2.1 必要条件与充分条件课件（3）-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第一章 预备知识 1.2.1 必要条件与充分条件（3） 1．掌握充要条件的概念． 2．理解充要条件的意义． 3．会判断条件与结论之间的充要性． 4．提高数学表达、数学运算和数学思维的准确性，培养逻辑思维能力． 掌握充要条件的概念和意义；会判断条件与结论之间的充要性． 会判断条件与结论之间的充要性． 根据前面两节课的学习，谈谈对必要条件、充分条件的理解． （1）一般地，当命题“若，则”是真命题时，即，称是的充分条件． （2）一般地，当命题“若，则”是真命题时，即，称是的必要条件． 思考：当命题“若，则”是真命题时，既有、又有， 是的什么条件呢？ 根据下面实例，仔细分析它们的条件和结论，理解充要条件． 勾股定理 如果一个三角形为直角三角形，那么它的两直角边的平方和等于斜边的平方． 勾股定理的逆定理 如果一个三角形的一边的平方等于其他两边的平方和，那么这条边所对的角是直角． “两直角边的平方和等于斜边的平方”是“三角形为直角三角形”的必要条件；“三角形为直角三角形”是“两直角边的平方和等于斜边的平方”的充分条件． 实 例 分 析 在勾股定理的逆定理中，“三角形的一边所对角是直角”是“三角形的直角所对的边的平方等于其他两边的平方和”的必要条件；“三角形的一边的平方等于其他两边的平方和”是“这条边所对的角是直角”的充分条件． 结论： 1．一般地，如果，且，那么称是的充分且必要条件，简称是的充要条件．记作． 2．是的充要条件也常常说成“成立当且仅当成立”或“与等价”． 3．当是的充要条件时， 也是的充要条件． 注意：充要条件是相互的，同时存在的，即和互为充要条件． 根据下面实例，仔细分析它们的条件和结论，理解充要条件． 分析： （1）如果，且不能推出，则称是的充分不必要条件； （2）如果不能推出，且，则称是的必要不充分条件； （3）如果，且，则称是的充要条件； （4）如果不能推出，且不能推出，则称是的既不充分也不必要条件． 注意：是的充要条件也可以说成是： ① 和是等价的；② 成立当且仅当成立；③ 成立当且仅当成立． 根据推出或者不能推出，我们可以有哪些可能的条件． （1）定义法：直接判断“若，则”以及“若，则”的真假； （2）集合法：即利用集合之间的包含关系判断． （3）传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由, 可得；充要条件也有传递性． 我们有4种条件，该怎么判断属于哪一种呢？ 对充要条件的理解： （1）p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立； p不成立，则q一定不成立”． （2）要判断p是否为q的充要条件，需要进行两次判断:：一是看p能否推出q，二是看q能否推出p．若p能推出q，q也能推出p，就可以说p是q的充要条件，否则，就不能说p是q的充要条件． 在下列各题中，试判断是的什么条件． （1）； （2）； （3）:四边形的对角线相等，:四边形是平行四边形． （1）因为命题“若，则”为真命题，并且，“若，则” 也是真命题，所以是的充要条件． （2）因为“”“”，但是“”不能推出“”， 例如“”，而“”，所以是的充分条件，但不是必要条件． （3）因为“四边形的对角线相等”不能推出“四边形是平行四边形”，并且“四边形是平行四边形”也不能推出“四边形的对角线相等”，所以既不是的充分条件，也不是的必要条件． 解： 根据推出关系判断即可 若，则 满足充分条件要求， 若，则，解得， 不满足必要条件要求， 所以“”是“”的充分不必要条件． 设集合，集合，则“”是“”的（ ）条件． 解： 根据推出关系判断即可 因为，恒成立， 所以，所以， 因为，所以， 所以， 故若， 则为真命题的充要条件是． 若，则为真命题的充要条件是（ ）． 解： , 非负，所以必然小于0 判断下列说法是否正确，正确的在它的后面的括号里画“√”，错误的画“×”． （1）若是的充要条件，则成立当且仅当成立．（） （2）若是的充要条件，则命题和是两个相互等价的命题．（） （3）若和有一个成立，则一定不是的充要条件．（） （4）不是的必要条件时，“推不出”成立．（） 解析：由充要条件的理解得出：（1）√（2） √ （3）√（4） √ 设，是实数，则“”是的（ ）条件． 解析： 在、是实数的条件下，若则成立，而不成立， 即 不能推出，不是的充分条件； 若则成立，而不成立， 即不能推出，不是的必要条件． 综上所述，设，是实数，则“”是的既不充分也不必要条件． 指出下列各组命题中，是的什么条