1.2.1 必要条件与充分条件课件-2025-2026学年高一上学期数学北师大版数学必修第一册

必要条件与充分条件 2.11 串联 并联 情境导入 逻辑的“电路” 从前，一个古老的家族有一个保险箱，需要两位继承人同时在场（同时按下他们的开关）才能打开（让灯泡亮起）. 请问，电路应该如何设计？ 串联 家族的保险箱 工程师的挑战(一） 任务驱动 情境导入1 逻辑实验室(一） 实验探究1 开关A和开关B串联，只有当A与B都闭合时，灯泡才亮。 （没q就一定没p） 没它不行 实验结果一： 成立是成立的必要条件 医院的紧急呼叫 在医院病房，为了病人安全，需要在床头和卫生间各安装一个紧急呼叫按钮。任何一处按下按钮（闭合开关），护士站的警报灯（灯泡）就必须立刻亮起。 请问，电路又该如何设计？” 并联 任务驱动 工程师的挑战(二） 情境导入2 实验探究2 逻辑实验室(二） 开关A和开关B并联，只要当A或B任意一个闭合，灯泡就亮。 实验结果二： （有p就一定有q） 有它就行 成立是成立的充分条件 概念生成 不管是从家族保险箱的故事到串联电路，还是从医院的 呼叫铃设置方式到并联电路，传递的就是一种从生活逻 辑到物理逻辑的一种转换，其实这些逻辑的背后隐藏着 巨大的数学逻辑关系，这也就是我们今天这节课要学习 的重要逻辑关系---充分条件与必要条件. 物理逻辑 生活逻辑 数学逻辑 问题.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ （1）若一个四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直; （2）若两条平行直线被第三条直线所截，则同位角相等; (3) 若两个集合的交集是空集，则其中一个集合必须是空集 命题(1)和(2),由条件p能推理得出结论q，是真命题。 命题(3),由条件p不能推理得出结论q，是假命题。 一般地，命题“若则”是真命题，则说明由通过推理可以得出结论，这时，我们就说可以推出，记作： 并且称，的充分条件，是的必要条件 概念生成 一般地，命题“若则”是假命题，则说明由条件结论，记作： 这时我们称，的充分条件，不是的必要条件 概念生成 (3) 若，则； 【方法指导】判断命题“若，则”的真假，从而判定是否是的必要条件. 强化概念 例1 下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件? (1) 若两个三角形是全等三角形，则这两个三角形的对应角相等; （2）若两个角是对顶角，则这两个角相等; 则q 则q 则q 强化概念 （1）若两个三角形是全等三角形，则这两个三角形的对应角相等; 全等三角形的性质定理 思考1：这样的必要条件是唯一的吗？如果不唯一，你还能再给出几个不同的必要条件吗？ 结论：数学中的每一个性质定理都给出了相应数学结论成立的必要条件 例1 下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件? 练习.将下面的性质定理写成“若，则”的形式，并用必要条件的语言表述： (1)平面四边形的外角和为； (2)在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标相同. 强化概念 解：(1)可表述为“若平面多边形为四边形，则它的外角和为， 故“外角和为”是“平面多边形为四边形”的必要条件； (2)可表述为“在平面直角坐标系中，若两个点关于轴对称，则这两个点的 横坐标相同”，故“两个点的横坐标相同”是“在平面直角坐标系中，两个点关于轴对称”的必要条件. 转化时注意分清 条件和结论. 结论是条件的必 要条件. 条件 条件 结论 结论 前提 经验告诉我们 当一个命题的条件和结论不明显时,可以把它的表述适当改变,再写成“若p,则q”的形式,然后根据必要条件与命题的关系进行判断. (3)若为无理数，则为无理数. 强化概念 例2 下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件? （2）若，则 （1）若一个四边形的对角线互相平分，则这个四边形一定是平行四边形； 发现：举反例是判断一个命题为假命题的重要方法! 则q 则q 则q 强化概念 例2 下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件? （1）若一个四边形的对角线互相平分，则这个四边形一定是平行四边形； 平行四边形的判定定理 思考2：这样的充分条件是唯一的吗？如果不唯一，你还能再给出几个不同的充分条件吗？ 结论：数学中的每一个判定定理都给出了相应数学结论成立的充分条件 三、充分条件与必要条件的判断方法 总结 充分条件与必要条件的判断方法----定义法 命题真假 “若，则”是真命题 “若，则”是假命题 推出关系 条件关系 的充分条件 的必要条件 的充分条件 的必要条件 1.设R，则的一个必要条件是(　　). A. B. C. D. 【解析】由只能推出，故选A. A 2.若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为　　　　. 【解析】若“”是“”的充分条件，则，故. 巩固提升 归纳：设为真，从集合的角 度理解相当于 例题（2023·天津卷）： 已知a, b ∈ R，则“a² = b²”是“a² + b² = 2ab”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：由a² = b²得a = ±b，当a = -b ≠ 0时，a² + b² = 2ab不成立；由a² + b² = 2ab得(a-b)² = 0，即a = b，显然a² = b²成立。故为必要不充分条件。 高考链接 B 音乐欣赏：《 我是一只鱼 》 歌词大意：离开水的鱼，活不下去 :鱼活；:有水 命题语言 :有水；:鱼活 轻松一刻 课堂小结 1.充分条件与必要条件的概念； 2.充分条件与必要条件的判断方法； 3.充分条件和必要条件与集合之间的联系. 课后作业 课本15和16页的练习 谢谢聆听！ 20950.215 $