2024年九年级数学中考复习：二次函数与特殊三角形问题综合专项突破训练

2024年九年级数学中考复习： 二次函数与特殊三角形问题综合专项突破训练 1．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上一动点．      (1)求这条抛物线的解析式： (2)如图（甲），在x轴上是否存在点E，使得以为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图（乙），动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点的坐标和面积的最大值． 2．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)P是下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点C，过点P作轴于点D． ①求的最大值； ②连接，是否存在点P，使得线段把的面积分成两部分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图1，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接，，． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)如图1，当点F的坐标为，过点P作x轴的垂线，交线段于点D，求线段长度的最大值； (3)如图2，是否存在点F，使得是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，设抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)连接、、，试判断的形状，并说明理由； (3)若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且、直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点．    (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标． (2)连结，判断线段与线段有何关系，请说明理由． (3)如图2．若点是直线上方的抛物线上的一动点，设点的横坐标为． ①连结、，当为何值时，． ②在直线上是否存在一点使为等腰直角三角形，若存在请求出的值，不存在请说明理由． 6．如图在平面直角坐标系中，抛物线与直线：交于、两点，直线与y轴交于点，抛物线上的动点在直线的上方    (1)请直接写出点、点的坐标； (2)连接、，当三角形的面积最大时，求点的坐标？ (3)连接、，当三角形以边为直角边时，求点的坐标？ (4)将直线向上平移7个单位后得到直线，请直接写出动点到直线的最短距离． 7．如图，抛物线的图象与轴交于点、（在左侧），与轴交于点，，点为抛物线的顶点．    (1)求抛物线解析式； (2)点是抛物线上一动点，且满足，求点坐标； (3)是对称轴左侧抛物线上一动点，以为斜边作等腰直角三角形，直角顶点正好落在对称轴上，画出图形并求出点坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)点E为B点左侧x轴上一动点（不与原点O重合），点Q为抛物线上一动点，是否存在以为斜边的等腰直角？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴交于另一个点，对称轴与直线交于点，抛物线顶点为．    (1)求抛物线的解析式； (2)在第三象限内，为抛物线上一点，以、、为顶点的三角形面积为3，求点的横坐标； (3)点是对称轴上的一动点，是否存在某一点使、、为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点坐标；不存在，说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其顶点为．直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧）．      (1)求抛物线的函数表达式和点的坐标； (2)当线段被抛物线的对称轴分成长度比为的两部分时，求的值； (3)连接，，试探究的大小是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 11．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，其中点在原点左侧，抛物线与轴负半轴交于点，，拋物线顶点为．    (1)求抛物线的解析式； (2)若该抛物线与直线交于点，，，为抛物线对称轴上一点，连接并延长，交抛物线于点，连接交拋物线对称轴于点， ①如图2，若，直线交对称轴于点，，求的长度； ②求证：不论取何值，抛物线上都存在定点，使得是以为底边的等腰三角形． 12．综合与探究：如图1，已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，直线与y轴相交于点D，交线段于点E且． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)求直线的函数表达式； (3)如图2，已知点M在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为，点P是该抛物线上位于第四象限的动点，且在直线l右侧，点Q是直线上的动点，试探究是否存