2024年九年级数学中考复习：二次函数与相似三角形问题综合专项突破训练

2024年九年级数学中考复习：二次函数与相似三角形问题 综合专项突破训练 1．如图，抛物线与轴相交于点、点，与轴交于点． (1)求这条抛物线的解析式； (2)如图1，若点为抛物线在第三象限图象上的点，且，求点的坐标； (3)如图2，点是抛物线上一动点，连接交线段于点当与相似时，求点D的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于、两点，与轴交于点，已知． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点是轴右侧抛物线上的动点（不与点重合），过点作轴于点，连接，若与相似，求点的坐标． 3．二次函数的图象与轴交于，两点，点为y轴负半轴上一点，且． (1)求二次函数表达式： (2)点是线段（包含，）上的动点，过点作轴的垂线，交二次函数图象于点，交直线于点，若以点，，为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，直线与交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为． (1)求a，b的值； (2)将点A绕点C逆时针旋转至点D，试说明点D在抛物线上； (3)在（2）的条件下，平移直线交抛物线于点E，F（点E在F的左边），点G在线段上．（点E，F，G分别与点B，A，D对应），求点G的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式以及顶点坐标； (2)若点是抛物线上的一个动点，满足与的面积相等求出点的坐标； (3)若点在第一象限内抛物线上，过点作轴于点，交于点，且满足与相似，求出点的横坐标． 6．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，且，直线经过点A，C，点D为y轴左侧抛物线上一点，连接，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当点D在直线下方时，连接交于点E，求的最大值及此时点D的坐标； (3)是否存在点D，使？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图1，已知抛物线交轴于、两点，与轴交于点， 抛物线 经过点、，点是射线 上一动点． (1)求抛物线 的表达式； (2)如图，过点作交抛物线第一象限部分于点 ，作交BC于点F，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)抛物线与 在第一象限内的图象记为“图象Z”，过点作轴交图象于点，是否存在这样的点，使 与 相似？若存在，求出所有符合条件的点的横坐标． 8．如图，抛物线经过三点，对称轴与抛物线相交于点P，与直线相交于点M，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)设对称轴与x轴交于点N，在对称轴上是否存在点G，使以为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)抛物线上是否存在一点Q，使是的面积一半，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (4)点E是y轴上的动点，连接，直接写出的最小值． 9．直线与轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B，C两点，与x轴的另一交点为A，连接，点P为上方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，连接，交线段于点D，若，求此时点P的坐标； (3)如图②，连接．过点P作轴，交线段于点E，若与相似，求出点P的横坐标及线段长． 10．如图，抛物线经过三点． (1)求拋物线的函数表达式； (2)如图1，为抛物线上在第二象限内的一点，若面积为，求点的坐标； (3)如图2，为抛物线的顶点，在线段上是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．小聪同学在解决抛物线平移问题时，发现了一些几何结论：如图1，抛物线的顶点为A，沿右上方平移后，所得抛物线的顶点B落在原抛物线上，且与原抛物线的对称轴交于点C，连结，延长交原抛物线于点D，则． (1)如图2，当时，请说明该结论成立． (2)当时，求点D的坐标． (3)过点D作轴，交原抛物线的对称轴于点E，若，直接写出的面积． 12．如图，二次函数的图象经过点，与y轴交于点C，点P为第四象限内抛物线上一点，连接，交于点Q． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，线段的垂直平分线交x轴于点M，求点M的坐标； (3)探究：是否有最大值，如有请求出最大值，如没有请说明理由． 13．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，连接，． (1)求的面积； (2)点为轴上一点，是否存在点，使得与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点为抛物线上一点（点与点不重合），且使得中有一个角是，请直接写出点的坐标． 14． 【建立模型】（1）如图1，点是线段上的一点，，，，垂足分别为，，，，求证：； 【类比迁移】（2）如图2，一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到，直线交轴于点． ①求点的坐标；②求直线的解析式； 【拓展延伸】（3）如图3．抛物线与坐标轴交于，，三点，已知点，连接