2024年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数压轴题（相似三角形问题）

2024年人教版九年级数学中考专题训练： 二次函数压轴题（相似三角形问题） 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于、两点，与轴交于点，已知． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点是轴右侧抛物线上的动点（不与点重合），过点作轴于点，连接，若与相似，求点的坐标． 2．已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点，直线经过，两点， (1)求抛物线的表达式； (2)如果点，在抛物线上，并与对称轴对称，（点在对称轴左边），且，求，的坐标； (3)动点在直线上，且与相似，求点的坐标． 3．如图，直线与轴交于点，与轴交于点．把沿轴翻折，点A落到点，过点B的抛物线与直线交于点． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作垂直于轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与相似？若存在，求出点M的坐标． 若不存在，请说明理由． 4．已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），交轴于点．    (1)求点、、的坐标； (2)连接，抛物线的对称轴与交于点，对称轴上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，并说明理由． 5．如图，抛物线过点，，D为抛物线的顶点．    (1)求抛物线的解析式以及顶点坐标； (2)点C关于抛物线对称轴的对称点为E点，连接BC，BE，求的正切值； (3)在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴上且在CE上方的一点，是否存在点M使和相似？若存在，求点M坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在原点右侧），与y轴交于点C．抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F，连接BC．    (1)求A、B、C三点坐标； (2)如图，点P是线段上一动点，过点P作轴，交抛物线于点D，问当动点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时P点的坐标； (3)坐标轴上是否存在点G，使以A，C，G为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出所有满足条件的点G的坐标：若不存在，请说明理由． 7．如图1，直线与抛物线交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为． (1)求a，b的值． (2)将点A绕点C逆时针旋转得到点D． ①判断点D是否在抛物线上，并说明理由． ②如图2，将直线向下平移，交抛物线于E，F两点（点E在点F的左侧），点G在线段上．若，求出点G的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于，，三点，点P是直线上方抛物线上的一个动点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)动点P运动到什么位置时，的面积最大，求此时P点坐标及面积的最大值； (3)在y轴上是否存在点Q，使以O，B，Q为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，以D为顶点的抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线的表达式为． (1)求抛物线的表达式； (2)在直线上存在一点P，使的值最小，求此最小值； (3)在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，二次函数的图象与x轴交于点和，点A在点B的左侧，与y轴交于点C． (1)求二次函数的函数解析式； (2)如图，点P在直线上方的抛物线上运动，过点P作交于点D，作轴交于点E，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）中取最大值的条件下，将抛物线沿水平方向向右平移4个单位，再沿竖直方向向上平移3个单位，点Q为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点G，M为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点Q、G、M、N为顶点的叫边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 11．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，B两点坐标分别是，，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)将沿所在直线折叠，得到，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由； (3)若点P是抛物线位于第二象限图象上的一动点，连接交于点Q，连接BP，的面积记为，的面积记为，求的值最大时点P的坐标． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x－2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B． (1)求二次函数y=ax2+bx+c的表达式； (2)抛物线上是否存在点M，过点M作MN⊥x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B