2024年中考九年级数学专题复习：二次函数中的等腰三角形存在性问题

2024年中考九年级数学专题复习： 二次函数中的等腰三角形存在性问题 1．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点C，抛物线的对称轴交轴于点D，已知点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． （温馨提示：如果两点的坐标是， 那么、两点间距离公式 ） 2．如图，抛物线（、是常数）的顶点为，与轴交于、两点，其中，，点从点出发，在线段上以单位长度/秒的速度向点运动，运动时间为秒，过作交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当为何值时，的面积最大？并求出面积的最大值； (3)点出发的同一时刻，点从点出发，在线段上以单位长度/秒的速度向点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，在运动过程中，是否存在某一时刻，使为等腰三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线经过、、三点，为坐标原点，抛物线交正方形的边于点，为射线上一动点，连接，交于点，连接． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求证：； (3)是否存在点使得为等腰三角形？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 4．在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C的坐标分别为，，顶点为M的抛物线经过点A，B，且与x轴交于点D，E（点D在点E的左侧）． (1)直接写出点B的坐标，抛物线的解析式及顶点M的坐标； (2)点P是（1）中抛物线对称轴上一动点，求为等腰三角形时，求P的坐标； (3)平移抛物线，使抛物线的顶点始终在直线上移动，在平移的过程中，当抛物线与线段有公共点时，求抛物线顶点的横坐标a的取值范围． 5．已知二次函数经过点、，与轴交于另一点，抛物线的顶点为．    (1)求此二次函数解析式； (2)连接、、，求证：是直角三角形； (3)在轴是否存在一点，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标． 6．如图，拋物线交轴于点和点，交轴于点 (1)求抛物线的函数解析式； (2)设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，是否存在点，使得四边形是平行四边形，如果有，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 (3)轴上，是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E．连接，已知点A，D的坐标分别为，．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)试探究抛物线上是否存在点F，使，若存在，请求点F的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为，当是等腰三角形，请直接写出m的值． 8．如图所示，已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，其中点的坐标是，顶点为点，连接，抛物线的对称轴与轴相交于点．      (1)求的值； (2)求的度数； (3)在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在一点，使得是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴和y轴分别交于点A，B，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点C为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点E，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．若是以为腰的等腰三角形．写出所有符合条件的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来． 10．如图，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线．    (1)求抛物线的解析式及点坐标； (2)如图1，连接，在对称轴上找一点，且点在第一象限内，使得是以为底角的等腰三角形，求点的坐标； (3)如图2，第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．当的值最大时，求点的坐标，并求出这个最大值． 11．如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C．其中，D是第一象限抛物线上一点，连接交于点E，点D的横坐标为m． (1)求抛物线的函数关系式； (2)求线段长度的最大值； (3)是否存在m的值，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的m的值；若不存在，请说明理由． 12．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于两点，抛物线与y轴的交点为．    (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，连接．设点P的横坐标为t． ①设的面积为s，求出s与t之间的函数关系式，并说明t的取值范围． ②s是否存在最大值，若存在，求出s的最大值．若不存在，说明理由． ③在点P运动过程中，能否使得是以点