解答题07新定义创新问题（九大考点+模拟题练）-2024年高中数学二轮选填及解答突破训练宝典

解答题07新定义创新问题 【考点01集合新定义问题】 【例1】将2024表示成5个正整数，，，，之和，得到方程①，称五元有序数组为方程①的解，对于上述的五元有序数组，当时，若，则称是密集的一组解. (1)方程①是否存在一组解，使得等于同一常数?若存在，请求出该常数；若不存在，请说明理由； (2)方程①的解中共有多少组是密集的? (3)记，问是否存在最小值?若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由. 【例2】已知数列，记集合. (1)若数列为，写出集合； (2)若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由； (3)若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为， 若，求的最大值． 【变式1-1】已知集合.若对于集合M的任意k元子集A，A中必有4个元素的和为，则称这样的正整数k为“好数”，所有“好数”的最小值记作. (1)当，即集合. （i）写出M的一个子集B，且B中存在4个元素的和为； （ii）写出M的一个5元子集C，使得C中任意4个元素的和大于； (2)证明：； (3)证明：. 【变式1-2】拓扑学是一个研究图形（或集合）整体结构和性质的一门几何学，以抽象而严谨的语言将几何与集合联系起来，富有直观和逻辑．已知平面，定义对，，其度量（距离）并称为一度量平面．设，，称平面区域为以为心，为半径的球形邻域． (1)试用集合语言描述两个球形邻域的交集； (2)证明：中的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集； (3)一个集合称作“开集”当且仅当其是一个无边界的点集．证明：的一个子集是开集当且仅当其可被表示为若干个球形邻域的并集． 【变式1-3】已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否具有性质，并说明理由； (2)若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”； (3)证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”. 【考点02函数新定义问题】 【例3】取整函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其定义如下：设，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作，函数称为取整函数．另外也称是x的整数部分，称为x的小数部分． (1)直接写出和的值； (2)设a，，证明：，且，并求在b的倍数中不大于a的正整数的个数； (3)对于任意一个大于1的整数a，a能唯一写为，其中为质数，为整数，且对任意的，，i，，称该式为a的标准分解式，例如100的标准分解式为．证明：在的标准分解式中，质因数（，，）的指数． 【例4】十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数1在二进制中就表示为，2表示为，3表示为，5表示为，发现若可表示为二进制表达式，则，其中，或1（）. (1)记，求证：； (2)记为整数的二进制表达式中的0的个数，如，. （ⅰ）求； （ⅱ）求（用数字作答）. 【变式2-1】设是定义域为的函数，如果对任意的、均成立， 则称是“平缓函数”. (1)若， 试判断和是否为“平缓函数” ? 并说明理由; (参考公式:时， 恒成立) (2)若函数是“平缓函数”， 且是以 1为周期的周期函数， 证明:对任意的、， 均有; (3)设 为定义在上函数， 且存在正常数 使得函数为“平缓函数”. 现定义数列满足:， 试证明:对任意的正整数. 【变式2-2】设是定义在上的函数，用分点，将区间任意划分成个小区间，如果存在一个常数，使得和（）恒成立，则称为上的有界变差函数． (1)函数在上是否为有界变差函数？请说明理由； (2)设函数是上的单调递减函数，证明：为上的有界变差函数； (3)若定义在上的函数满足：存在常数，使得对于任意的时，．证明：为上的有界变差函数． 【变式2-3】已知函数的定义域为，实数和满足，若在区间上不存在最小值，则称在上具有性质. (1)若，判断函数在下列区间上是否具有性质；①；②； (2)若对任意实数都成立，当时，，若在区间上具有性质，求实数的取值范围； (3)对于满足的任意实数和，在区间上都有性质，且对于任意，当时，均满足.设，，试判断数列的单调性，并说明理由. 【考点03导数新定义问题】 【例5】英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题. (1)证明：； (2)设，证明：； (3)设，若是的极小值点，求实数的取值范围. 【例6】在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，