2024年九年级中考数学复习训练 二次函数之动点问题

二次函数之动点问题 1．（2023秋•张店区期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），点P是第三象限内抛物线上的一个动点，连接BC，CP，BP． （1）求该抛物线的表达式及其顶点坐标； （2）△BCP的面积是否存在最大值？若存在，请求出△BCP面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设直线AQ与直线BC交于点Q，若存在∠AQB与∠ACB中一个是另一个的2倍，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2023秋•晋江市期末）直线y＝kx+b绕着该直线上的点A（1，2）旋转，与抛物线y＝﹣x2+2x+a（a为常数，且a＞1）相交于点B（x1，y1），C（x2，y2）两点，当|x1﹣x2|的值最小时，． （1）当k＝0时，求b的值； （2）设抛物线y＝﹣x2+2x+a的顶点为D，试问：在直线y＝kx+b绕着点A旋转的过程中，直线BC与BD能否互相垂直？请说明理由； （3）若抛物线y＝﹣x2+2x+a与x轴负半轴交于点F，点E在x轴上，当tan（∠DFO+∠DEO）＝4时，求点E的坐标． 3．（2023秋•克州期末）【建立模型】（1）如图1，点B是线段CD上的一点，AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，垂足分别为C，B，D，AB＝BE．求证：△ACB≌△BDE； 【类比迁移】（2）如图2，点A（﹣3，a）在反比例函数图象上，连接OA，将OA绕点O逆时针旋转90°到OB，若反比例函数经过点B． ①求点B的坐标； ②求反比例函数的解析式； 【拓展延伸】（3）如图3，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，已知点Q（0，﹣1），连接AQ，抛物线上是否存在点M，使得∠MAQ＝45°，若存在，求出点M的横坐标． 4．（2023秋•潮州期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx过点A（1，4）、B（﹣3，0），过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，在x轴上有一点D（4，0），连接CD． （1）求抛物线的表达式； （2）若在抛物线上存在点Q，使得CD平分∠ACQ，请求出点Q的坐标； （3）一动点P从C点出发，以每秒1个单位长度的速度沿C﹣A﹣D运动，运动时间为t秒，另一动点M在线段CD上，问是否存在某一时刻使PM+AM＝4？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 5．（2023秋•峨山县期末）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＞0）交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于C，点M（m，t）是第四象限内抛物线上的一个动点． （1）求a，b的值； （2）①若m为整数，且的值也为整数，请求出满足条件的点M的坐标； ②若点N（n，t）在该抛物线上，且n＜m，MN＝2k，求m2+kn﹣3k+2023的值． 6．（2023秋•斗门区期末）【实践探究】 数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程： （1）实践：他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶高离水面6m时，水面宽10m，并画出了拱桥截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式； （2）应用：按规定，船通过拱桥时，顶部与拱桥顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m．一场大雨，让水面上升了0.2m，为了确保安全，问该拱桥能否让宽度为6m、高度为3.2m的货船通过？请通过计算进行说明（货船看作长方体）； （3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条y＝x的直线OF，交抛物线于点F，交抛物线对称轴于点E，提出了以下两个问题，请予解答： ①如图2，B为直线OF上方抛物线上一动点，过B作BA垂直于x轴，交x轴于A，交直线OF于C，过点B作BD垂直于直线OF，交直线OF于D，求BD+CD的最大值． ②如图3，G为直线OF上一动点，过G点作x轴的垂线交抛物线于点H，点P在坐标平面内．问：是否存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出G点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2023秋•新田县期末）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y＝x﹣4的顶点为D，交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P． （1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式； （2）当△APC的周长最小时，求点P的坐标； （3）设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若△DPQ与△ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标． 8．（2023秋•临高县期末）如图，抛物线的顶点坐标为（2，﹣3），与y轴交于点C（0，1）． （