导数综合复习（三）导数在研究函数中的应用-2024年高考数学一轮复习

高考数学综合复习 导数综合复习（三） 导数在研究函数中的应用 学校： . 班级： . 姓名： . 学科网（北京）股份有限公司 前言 导数是研究函数的变化趋势的一个工具，是初等数学与高等数学中比较常用的一个工具，是研究高等数学的基础。由变化率引出导数，借助导数，不仅可以研究一元函数，而且还可以研究多元函数。 中学阶段，我们需要了解变化率和导数的定义，并通过研究导数的相关性质得出函数的单调性和极最值，体会导数问题的一般研究思路，掌握导数问题的基本研究方法。这一部分内容难度大、知识运用性强，是整个高中数学学习过程中最难的一部分，涉及的题型多，技巧多，思维跳跃性大，需要逐步进行分析，不能图快，一味放弃对难题的解答，需要重视相关思想的培养和训练，如函数思想、方程思想等。 作为高考数学中的一个最为重要内容，无论是哪个高考卷，选择填空和大题都经常能见到导数的身影，常用作选择，填空和大题的压轴题。常常考查函数的求导，构造函数法，高阶函数的求导，函数的几何性质，导数的证明等等，具有非常强的综合性。由于导数在高中数学中是最难的一部分，在高考大题中常作为最后一道压轴题出现，但只要熟练掌握了所有导数知识，并学会了所有导数相关的题型，解决导数问题也是相对容易的。 作为人教A版（2019）选择性必修第二册的重点内容，书本用了一大半的篇幅讲了导数，可见导数的地位是极为重要的。书中从倒数的概念及其意义，导数的运算，导数在研究函数中的应用三个方面对导数进行了简单的介绍，讲述了导数的几何性质，运算，单调性和极最值。学生在学习时如果仅掌握了书本上的知识是远远不够的，还需要掌握一些其他的知识。本系列资料对导数的各个方面进行了详尽的介绍，也把高考数学中导数的所有知识和考试题型进行了较为完整的总结。学生和老师可以根据自身需要去学习相对应的知识，把每个知识点和求解方法都掌握并加以运用，切不可忽视任何一个章节和每一处细节，高考数学对于导数的考查是极其详尽的。 编者：贤岭村村长 2024.01.03 目录 一、函数的单调性 1 1.与单调性 1 2.导数法判断函数单调性的步骤 1 3.一阶导数绝对值与函数走势的关系 1 4.告诉单调性后，求函数参数不等式需要带等号 1 二、函数的极值与最大（小）值 7 1.极值——极小值&极大值 7 2.极值点 7 3.极值的必要条件 7 4.关于极值点的几点说明 7 5.求函数机智的步骤 7 6.最值——最小值&最大值 9 7.求函数最大值步骤 9 8.由函数导数作出函数图象步骤 9 三、导数在研究函数中的应用 13 1.利用导数研究函数的单调性 13 2.利用导数研究函数的极值 27 3.利用导数研究函数的最值 49 学科网（北京）股份有限公司 一、函数的单调性 1.与单调性 一般地，函数的单调性与导函数的正负之间具有如下的关系： 在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递增； 在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递减。 2.导数法判断函数单调性的步骤 一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数的单调性： 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数的零点； 第3步，用的零点将的定义域划分为若干个区间，求出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性。 注：若，则称为函数的驻点。 3.一阶导数绝对值与函数走势的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”。 4.告诉单调性后，求函数参数不等式需要带等号 【例1】（2023高考全国乙卷16题）设，若函数在上单调递增，则的取值范围是 。 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数解不含参数的一元二次不等式解读由对数函数的单调性解不等式 【答案】 【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围。 【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是。 故答案为：。 【例2】（2023·全国·模拟预测）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若函数有两个不同的零点，，证明：． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【分析】（1）确定的定义域，对求导，分，两种情况讨论即可得出答案． （2）由有两个不同的零点可