2024届高三第二次学业质量评价（T8联考）数学试题

2024届高三第二次学业质量评价（T8联考） 数学试题 命题学校：石家庄市第二中学 命题人：宛昭勋 刘越起 刘俊男 审题人：刘英娟 考试时间：2024年3月20日下午15：00—17：00 试卷满分：150分 考试用时：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 2．复数满足为纯虚数，则（ ） A． B． C． D． 3．样本数据的第70百分位数次为（ ） A．7 B．9 C．9.5 D．10 4．若成等比数列，则公比为（ ） A． B． C． D．2 5．甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中一项活动，每项活动至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为（ ） A． B． C． D． 6．在中，，则（ ） A． B． C． D．1 7．已知正方体的棱长为为线段上的动点，则三棱锥外接球半径的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．已知抛物线的方程为为其焦点，点坐标为，过点作直线交抛物线于两点，是轴上一点，且满足，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在毎小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数，则下列判断正确的是（ ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．是偶函数 D．在区间上单调递增 10．已知为坐标原点，点．若点满足，则下列判断错误的是（ ） A． B．面积的最大值为 C． D． 11．已知正方体的棱长为是中点，是的中点，点满足，平面截该正方体，将其分成两部分，设这两部分的体积分别为，则下列判断正确的是（ ） A．时，截面面积为 B．时， C．随着的增大先减小后增大 D．的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．是任处的切线方程，则_________。 13．1675年，卡西尼在矿究土星及其卫星的运行规律时发现了卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹。已知点，动点满足，则面积的最大值为_________。 14．已知是实数，满足，当取得最大值时，_________。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 设数列为等差数列，前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）设的前项和为，求。 16．（本小题满分15分） 兵乓球（table tennis），被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目。已知某次乒乓球比赛单局赛制为：两球换发制，每人发两个球，然后由对方发球，先得11分者获胜。 （1）若单局比赛中，甲发球时获胜的概率为，甲接球时获胜的概率为，甲先发球，求单局比赛中甲获胜的概率； （2）若比赛采用三局两胜制（当一队朚得两场胜利时，该队获胜，比赛结束），每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记为比赛结束时的总局数，求的期望．（参考数据） 17．（本小题满分15分） 已知三棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，，，平面与底面的交线为直线． （1）若，证明：； （2）若三棱锥的体积为为交线上的动点，若直线与平面的夹角为，求的取值范围． 18．（本小题满分17分） 已知双曲线的方程为，其中，）是双曲线上一点，直线与双曲线的另一个交点为，直线与双曲线的另一个交点为，双曲线在点处的两条切线记为与交于点，线段的中点为，设直线的斜率分别为。 （1）证明：； （2）求的值。 19．（本小题满分17分） 记，若，满足：对任意，均有，则称为函数在上“最接近”直线．已知函数． （1）若，证明：对任意； （2）若，证明：在上的“最接近”直线为：，其中且为二次方程的根。 2024届高三第二次学业质量评价（T8联考） 数学试题参考答案及多维细目表 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B A