2024年中考数学专题复习讲义 分式方程及其应用

2024年九年级中考数学专题复习讲义:分式方程及其应用 知识点归纳: 1.分式的定义:如果A、B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子叫做分式。 1)分式与整式最本质的区别:分式的字母必须含有字母,即未知数;分子可含字母可不含字母。 2)分式有意义的条件:分母不为零,即分母中的代数式的值不能为零。 3)分式的值为零的条件:分子为零且分母不为零 2.分式的基本性质:分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式,分式的值不变。 用式子表示 其中A、B、C为整式() 注:(1)利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形,不改变分式值的大小,只改变形式。 (2)应用基本性质时,要注意C≠0,以及隐含的B≠0。 (3)注意“都”,分子分母要同时乘以或除以,避免只乘或只除以分子或分母的部分项,或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。 3. 分式的通分和约分:关键先是分解因式 1)分式的约分定义:利用分式的基本性质,约去分式的分子与分母的公因式,不改变分式的值。 2)最简分式:分子与分母没有公因式的分式 3)分式的通分的定义:利用分式的基本性质,使分子和分母同乘适当的整式,不改变分式的值,把几个异分母的分式化成分母相同的分式。 4)最简公分母:取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母,它叫做最简公分母。 4. 分式的符号法则 分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个分式的值不变。用式子表示为 注:分子与分母变号时,是指整个分子或分母同时变号,而不是指改变分子或分母中的部分项的符号。 5. 条件分式求值 1) 整体代换法:指在解决某些问题时,把一些组合式子视作一个“整体”,并把这个“整体”直接代入另一个式子,从而可避免局部运算的麻烦和困难。 例:已知 ,则求 2)参数法:当出现连比式或连等式时,常用参数法。 例:若 ,则求 6. 分式的运算: 1)分式乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为分母。 2)分式除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。 3)分式乘方法则: 分式乘方要把分子、分母分别乘方。 4)分式乘方、乘除混合运算:先算乘方,再算乘除,遇到括号,先算括号内的,不含括号的,按从左到右的顺序运算 5)分式的加减法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减。 异分母的分式相加减,先通分,变为同分母分式,然后再加减 7. 整数指数幂. 1) 任何一个不等于零的数的零次幂等于1, 即; 2) 任何一个不等于零的数的-n次幂(n为正整数),等于这个数的n次幂的倒数,即 ( 注:分数的负指数幂等于这个分数的倒数的正整数指数幂。即 3) 科学计数法:把一个数表示为a 10n (1≤∣a∣<10,n为整数)的形式,称为科学计数法。 注:(1)绝对值大于1的数可以表示为a 10n 的形式,n为正整数; (2)绝对值小于1的数可以表示为a 10-n的形式,n为正整数. (3)表示绝对值大于10的n位整数时,其中10的指数是(4)表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0) 4) 正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂.(m,n是整数) (1)同底数的幂的乘法:;(2)幂的乘方:;(3)积的乘方:; (4)同底数的幂的除法:( a≠0);(5)商的乘方:();(b≠0) 8. 分式方程:含分式,并且分母中含未知数的方程——分式方程。 1) 增根:分式方程的增根必须满足两个条件: (1)增根是最简公分母为0;(2)增根是分式方程化成的整式方程的根。 2)分式方程的解法: (1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母,化为整式方程;(3)解整式方程;(4)验根. 注:解分式方程时,方程两边同乘以最简公分母时,最简公分母有可能为0,这样就产生了增根,因此分式方程一定要验根。 分式方程检验方法:将整式方程的解带入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解。 提升练习 一、单选题 1.分式方程的解是( ) A. B. C. D. 2.若关于x的分式方程=2增根,则m的值是( ) A.-1 B.0 C.3 D.0或3 3.若关于x的分式方程 = 的解为非负数,则a的取值范围是( ) A.a≥1 B.a>1 C.a≥1且a≠4 D.a>1且a≠4 4.某校为了丰富校园生活,准备购进一批篮球和足球,其中篮球的单价比足球的单价多20元,李老师购买篮球花费900元,购买足球花费400元,结果购得篮球数量是足球数量的1.5倍,设购买足球数量是x个,则下列选项中所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 5.某超市同时卖出了一个“宸宸”和一个“莲莲”吉祥物玩偶,售价均为90元,