专题04 空间向量与立体几何 专练-2024届高考数学二轮复习（老高考适用）

【高考二轮专题训练系列】 2024高考数学（老高考适用） 专题04 空间向量与立体几何 题型训练 1. （2023·全国·统考高考甲卷）如图，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距离为1．    (1)证明：； (2)已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值． 2. （2023·全国·统考高考乙卷）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.    (1)证明：平面； (2)证明：平面平面BEF； (3)求二面角的正弦值. 3. （2022·全国·统考高考甲卷）在四棱锥中，底面． (1)证明：； (2)求PD与平面所成的角的正弦值． 4. （2022·全国·统考高考乙卷）如图，四面体中，，E为的中点． (1)证明：平面平面； (2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 5. （2023·海南·统考模拟预测）如图，在平面四边形中，，，将沿向上折起，使得平面与平面所成的锐二面角的平面角最大．    (1)求该几何体中任意两点间的距离的最大值； (2)若，垂足为，点是上一点，证明：平面平面． 6. （2023•宁夏三模）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC， AB⊥BC，且AB＝AP＝BC＝1，AD＝2． （1）求证：CD⊥平面PAC； （2）若E为PC的中点，求PD与平面AED所成角的正弦值． 7. （2023•四川成都·统考模拟）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△A1B1C1与△AB1C1均是边长为2的正三角形，且AA1＝． （Ⅰ）证明：平面AB1C1⊥平面A1B1C1； （Ⅱ）求四棱锥A﹣BB1C1C的体积． 8. （2023•海南海口·琼山区三模）如图，三棱台ABC﹣A1B1C1，AB⊥BC，AC⊥BB1，平面ABB1A1⊥平面ABC，AB＝6，BC＝4，BB1＝2，AC1与A1C相交于点D，，且 DE∥平面BCC1B1． （1）求三棱锥C﹣A1B1C1的体积； （2）平面A1B1C与平面ABC所成角为α，CC1与平面A1B1C所成角为β，求证：． 9. （2023·海南琼海·校级模拟）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝4， AB＝2，点M，N，P分别是BB1，B1C1，BC的中点，点Q为棱CC1上一点，且直线 AA1和PQ所成的角为． （1）求证：PQ∥平面AMN； （2）求点P到平面AMN的距离． 10. （2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）如图，在六面体中，四边形是菱形，，平面，，为的中点，平面．    (1)求； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 11. （2023·陕西咸阳·统考模拟）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BB1C1C是边长为1的正方形，侧面BB1C1C⊥侧面AA1B1B，AB＝4，∠A1B1B＝60°，G是A1B1的中点． （1）求证：平面GBC⊥平面BB1C1C； （2）若P为线段BC的中点，求三棱锥A﹣PBG的体积． 12. （2023•四川雅安·区联考三模）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中、四边形ABB1A1是菱形，且∠ABB1＝60°，AB＝BC＝2，CA＝CB1，CA⊥CB1， （1）证明：平面CAB1⊥平面ABB1A1； （2）求直线BB1和平面ABC所成角的正弦值； 13. （2023•宁夏平罗县·校级二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD， AD⊥CD，AD∥BC，且PA＝AD＝CD＝2，BC＝3，E是PD的中点，点F在PC上，且 PF＝2FC． （1）证明：DF∥平面PAB； （2）求三棱锥P﹣AEF的体积． 14. （2023•河南开封·三模）如图，四边形ABCD是圆柱OO1的轴截面，EF是圆柱的母线，P是线段AD的中点，已知AB＝4，BC＝6． （1）证明：BF⊥平面EPF； （2）若直线AB与平面EPF所成角为60°，求三棱锥B﹣EPF的体积． 15. （2023·内蒙古赤峰·校联考三模）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，四边形是圆的内接四边形，为底面圆的直径，在母线上，且，，．    (1)求证：平面平面； (2)设点为线段上动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 答案&解析 【1】 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得平面，再由勾股定理求出为中点，即可得证； （2）利用直角三角形求出的长及点到面的距离，根据线面角定义直接可得正弦值. 【详解】（1）如图，    底面，面， ，又，平面，, 平面ACC1A1，又平面， 平面平面， 过作交于，又平面平面，平面， 平面 到平面的距离为1，， 在中，， 设，则， 为直角三角形，且， ，，， ，解得，