专题02函数与导数专练-2024届高三数学二轮复习（老高考适用）

【高考二轮专题训练系列】 2024高考数学（老高考适用） 专题02 函数与导数 题型训练 1. （2023·全国甲卷）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 2. （2023·全国乙卷）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. (3)若在存在极值，求a的取值范围. 3. （2022·全国甲卷）已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)证明：若有两个零点，则． 4. （2022·全国乙卷）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围． 5. （2023·河南·模拟预测）已知函数，且. (1)求在上的最大值； (2)设函数，若函数在上有三个零点，求的取值范围. 6. （2023·四川遂宁·校考阶段练习）设，. (1)当时，求的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)若有恒成立，求的取值范围. 7. （2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知函数，． (1)求的极值； (2)证明：当时，．（参考数据：） 8. （2023·山西·校联考模拟预测）已知，函数. (1)若是增函数，求的取值范围； (2)证明：当，且时，存在三条直线是曲线的切线，也是曲线的切线. 9. （2023·宁夏固原·统考一模）已知函数，． (1)若曲线在处的切线与曲线相交于不同的两点，，曲线在A，B点处的切线交于点，求的值； (2)当曲线在处的切线与曲线相切时，若，恒成立，求a的取值范围． 10. （2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知为实数，函数 (1)当时，求函数的极值点； (2)当时，试判断函数的零点个数，并说明理由． 11. （2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）已知函数，的导函数为． (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)当时，记函数的极大值和极小值分别为，，求证：． 12. （2023·四川雅安·校考模拟预测）已知函数和在同一处取得相同的最大值． (1)求实数a； (2)设直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为（），证明：． 13. （2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知函数，其中. (1)若，求的单调区间； (2)若恰有2个不同的极值点，求的取值范围； (3)若恰有2个不同的零点，求的取值范围. 14. （2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知函数，且，． (1)讨论的单调性； (2)若，函数有三个零点，，，且，试比较与2的大小，并说明理由． 15. （2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知函数（）有两个零点. (1)求实数的取值范围； (2)设函数的两个零点分别为，，证明：. 答案&解析 【1】 【答案】(1)答案见解析.(2) 【分析】（1）求导,然后令,讨论导数的符号即可; （2）构造,计算的最大值,然后与0比较大小,得出的分界点,再对讨论即可. 【详解】（1） 令,则 则 当 当,即. 当,即. 所以在上单调递增,在上单调递减 （2）设 设 所以. 若, 即在上单调递减,所以. 所以当,符合题意. 若 当,所以. . 所以,使得,即,使得. 当,即当单调递增. 所以当,不合题意. 综上,的取值范围为. 【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性在定义域内是减函数,若,当,对应当. 【2】 【答案】(1)； (2)存在满足题意，理由见解析. (3). 【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可； (2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数的方程，解方程可得实数的值，最后检验所得的是否正确即可； (3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论，和三中情况即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 则， 据此可得， 函数在处的切线方程为， 即. （2）由函数的解析式可得， 函数的定义域满足，即函数的定义域为， 定义域关于直线对称，由题意可得， 由对称性可知， 取可得， 即，则，解得， 经检验满足题意，故. 即存在满足题意. （3）由函数的解析式可得， 由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点; 令， 则， 令， 在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点， 当时，，在区间上单调递减， 此时，在区间上无零点，不合题意; 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，， 所以在区间上无零点，不符合题意； 当时，由可得， 当时，，单调递减， 当时，