微专题—椭圆中一类斜率之积为定值-2024年高三数学二轮复习讲义

微专题—椭圆中一类斜率之积为定值 椭圆是高考考查的难点之一，椭圆中一类斜率之积问题早有出现.本文从教材出发，通过一系列的变式，转化和化归达到高考考查要求，体现出试题源于教材且高于教材的理念，同时，找到在椭圆中一类斜率之积问题的通性. 1、 教材习题变式，构建模型 典型习题：（人教A版选修2-1）设点，的坐标分别为、，直线，相交于点，且他们的斜率之积为，求点的轨迹方程。 解：如图1，设点，由已知得，，，所以，化简得， 故点的轨迹方程为. 【评析】求轨迹方程的基本步骤：建系设点、列式、化简、检验.常用方法有：①直接法：直接法、定义法、待定系数法、几何法；②间接法：相关点法、参数法、交轨法.基本思想有：转化与化归、函数与方程、分类与整合等。此题源自教材，主要考查斜率公式、轨迹方程的求法，可直接求出结果，但需要注意点横坐标的取值问题。 [变式1]：已知椭圆：，，为椭圆的左右顶点，点是椭圆上异于，的任一点，求证：直线与直线的斜率之积为定值。 解：如图2，设点，，，，，，又点在椭圆上，，则，可得， 故，直线与直线的斜率之积为定值。 [变式2]：已知椭圆：，直线与椭圆相交于，两点，点是椭圆上异于，的任一点，求证：直线与直线的斜率之积为定值。 解：如图3，设点，显然点与点关于原点对称，不妨设，，，， ........① 点在椭圆上，，则........② 又点在椭圆上，，则........③ 由①②③可得， 故，直线与直线的斜率之积为定值。 [变式3]：已知椭圆：，直线与椭圆相交于，两点，点是椭圆上异于，的任一点，点是线段的中点，求证：直线与直线的斜率之积为定值。 解：如图4，设点，显然点与点关于原点对称，不妨设，，由变式3可知 由已知得为的中点，又因为是线段的中点，所以是的中位线， ，则，， 故，直线与直线的斜率之积为定值。 【评析】变式1、2、3都是解法相似，先设点，求出斜率，再根据斜率和点在椭圆上得到关于，的方程组，解出或代入另一式，化简后得到斜率之积为定值，且都为. [变式4]：已知椭圆：，直线为椭圆的一条切线，切点为，求证：直线与直线的斜率之积为定值。 解：如图上图，设直线，的斜率分别为，，直线的方程为，直线的方程为。联立两式， 可得，，则点。 又因为点在椭圆上，所以........(*) 联立两式，消去可得 由于直线与椭圆相切，故而直线与椭圆只有一个交点， 所以，则 即，所以，代入(*)式，化简得 故，直线与直线的斜率之积为定值。 【评析】此题也属于斜率之积为定值，但此解法与变式1、2、3有所不同，直线与椭圆有一个交点，联立两直线方程得出点的坐标，继而得出(*)式，再联立直线方程与椭圆方程，消去其中一个变量，得出关于另一变量的一元二次方程，再利用一元二次方程有一个实数解，得出与的关系，代入(*)化简得结果。 二、高考解题分析，游刃有余 1、(2022年全国甲卷理10)已知椭圆：的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称，若直线，斜率之积为，则的离心率为 解：设点，，，则，，由已知得........(*)，又点在椭圆C上，则，可得，代入(*)式得 ，所以，得。 2、(2020河南天一大联考理10)已知椭圆短轴的两个端点为，，点为椭圆上异于，的一点，直线与直线斜率之积为，则的离心率为 解：设点，点，是短轴的两个端点，不妨设，，得，，故.....(*)，又点在椭圆上，得，，于是，代入(*)可得 ，故，于是，得. 3、(2012年天津理19)已知椭圆的左右顶点为，，点在椭圆上且异于，的任一点，为坐标原点，若直线与直线的斜率之积为，则的离心率为 解：设点的坐标为，由题可知，，得，，故.....(*)， 又点在椭圆上，得，，于是，代入(*)可得 ，故，于是，得 【评析】上述三个高考题解法相似，解题过程大致为设点，列等式，代换，化简得到，再利用，得到离心率的值. 4、(2015年全国2卷理19)已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为。证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值。 解：设直线，，，， 将代入得，故，．于是直线的斜率，即．所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值-9． 【评析】此题与变式4的解法类似，将直线方程代入椭圆方程，消去得到关于的一元二次方程，再利用韦达定理，可知中点的坐标，继而得出与的关系。 学科网（北京）股份有限公司 $$