6.2.1 导数与函数的单调性（2知识点+6题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教B版2019选择性必修第三册）

6.2.1 导数与函数的单调性 课程标准 学习目标 （1）理解在某区间上函数的单调性与导数的关系； （2）能够利用导数求函数的单调区间。 （1）掌握利用导数判断或证明函数单调性的方法； （2）能够利用导数求函数的单调区间； （3）能够根据函数的单调性求参数； （4）理解函数图象与其导函数图象之间的关系； （5）通过利用导数判断函数单调性法则的学习提升数学抽象核心素养。 知识点01 导数与函数单调性的关系 1、导数与函数单调性定义： 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增； 如果，那么函数在这个区间内单调递减． 2、对导数与函数单调性概念理解； （1）在某区间内（）是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件； （2）可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为零． 【即学即练1】（22-23高二下·四川成都·期末）函数在上是（ ） A．偶函数、增函数 B．奇函数、减函数 C．偶函数、减函数 D．奇函数、增函数 知识点02 函数图象变化趋势与导数的绝对值的大小的关系 观察函数图象，分析函数的导数绝对值的大小与函数图象的变化关系 函数图象 导数 导数为正，且绝对值越来越大 导数为正，且绝对值越来越小 导数为负，且绝对值越来越大 导数为负，且绝对值越来越小 函数值 函数值变化越来越快 函数值变化越来越慢 函数值变化越来越快 函数值变化越来越慢 图象特点 越来越陡峭 越来越平缓 越来越陡峭 越来越平缓 【即学即练2】（23-24高二·全国·课时练习）已知函数在上有导函数， 图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【题型一：求不含参函数的单调区间】 例1．（23-24高二上·陕西西安·期末）函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 变式1-1．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）函数在上的单调递增区间为 ． 变式1-2．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）函数的单调增区间为 . 变式1-3．（23-24高三上·贵州黔东南·阶段练习）（多选）下列函数在定义域上为增函数的有（ ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求（通分合并、因式分解）； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 【题型二：求含参函数的单调区间】 例2．（23-24高二下·全国·课时练习）已知函数 讨论的单调性. 变式2-1．（2024高二·上海·专题练习）设函数，其中. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）讨论的单调性； 变式2-2．（23-24高二下·全国·课前预习）已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线； （2）讨论的单调性； 变式2-3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）设函数． （1）若，求的导数； （2）讨论函数的单调性． 【方法技巧与总结】 讨论含参函数的单调性，其本质是导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主。讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般需要分四个层次来分类： （1）最高次幂的系数是否为0，即“是不是”； （2）导函数是都有变号零点，即“有没有”； （3）导函数的变号零点是否在定义域或指定区间内，即“在不在”； （4）导函数有多个零点时大小关系，即“大不大”。 【题型三：已知函数的单调性求参数】 例3．（23-24高二上·湖南常德·期末）若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式3-1．（23-24高二上·浙江宁波·期中）若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是 ． 变式3-2．（2024高二下·全国·专题练习）若函数 恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式3-3．（22-23高二下·辽宁阜新·期末）若函数在区间上单调，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D．不存在这样的实数 变式3-4．（23-24高二上·河南许昌·期末）若函数在其定义域的一个子区间上，不是单调函数，则实数k的取值范围是 ． 【方法技巧与总结】 已知函数的单