6.2.1 导数与函数的单调性(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦导数与函数单调性的关系这一核心知识点，从股票走势实例引入问题，系统梳理导数正负与函数单调递增、递减的关系，通过“想一想”深化理解，再以图象判断、求单调区间、参数范围题型构建从概念到应用的学习支架。 资料以现实情境激发兴趣，体现数学眼光观察现实世界，通过“想一想”问题培养逻辑推理，例题与跟踪训练强化数学运算。通性通法总结助力教师授课，课后作业与跟踪训练帮助学生查漏补缺，整体设计兼顾直观想象与理性思维，提升核心素养。

6.2　利用导数研究函数的性质 6.2.1　导数与函数的单调性 【基础落实】 知识点 （1）f'（x）＞0　（2）f'（x）＜0 想一想 1.提示：函数y＝f（x）在这个区间上是常数函数，不具有单调性. 2.提示：不一定成立.比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零.也就是说f'（x）＞0是y＝f（x）在某个区间上单调递增的充分不必要条件. 3.提示：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化的较快，其图象比较陡峭.即｜f'（x）｜越大，则函数f（x）的切线斜率的绝对值越大，函数f（x）的变化率就越大. 自我诊断 1.A　因为f'（x）＝2－cos x＞0，所以f（x）在（－∞，＋∞）上是单调递增函数. 2.C　观察y＝f（x）的图象可知，函数在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，所以导函数y＝f'（x）在（－∞，0）上小于0，在（0，＋∞）上大于0.结合各选项可知，只有选项C符合题意. 3.（－∞，－3]，（－2，1]，（3，＋∞）　（－3，－2]，（1，3] 解析：由f'（x）的图象可知，当x在区间（－3，－2]和（1，3]时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减；当x在区间（－∞，－3]，（－2，1]，（3，＋∞）时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增.所以f（x）的单调递增区间是（－∞，－3]，（－2，1]，（3，＋∞）；f（x）的单调递减区间是（－3，－2]，（1，3]. 【典例研析】 【例1】　C　由函数y＝f（x）的图象的增减变化趋势判断函数y＝f'（x）的正、负情况如下表： x [－1，b） [b，a） [a，1] f'（x） － ＋ － f（x） 单调递减 单调递增 单调递减 由表可知函数y＝f'（x）的图象，当x∈[－1，b）时，在x轴下方；当x∈[b，a）时，在x轴上方；当x∈[a，1]时，在x轴下方.故选C. 【例2】　（1）C　（2）D　解析：（1）由f'（x）＞0（f'（x）＜0）的分界点判断原函数在此分界点两侧的图象的上升和下降趋势.由已知可得x的取值范围和f'（x）的正、负，f（x）的增减变化情况如下表所示： x （－∞，0] （0，2] （2，＋∞） f'（x） ＋ － ＋ f（x） 单调递增 单调递减 单调递增 由表可知f（x）在（－∞，0]内单调递增，在（0，2]内单调递减，在（2，＋∞）内单调递增，故满足条件的只有C，故选C. （2）从f'（x）的图象可以看出，在区间内，导数递增；在区间内，导数递减.即函数f（x）的图象在内越来越陡峭，在内越来越平缓. 跟踪训练 1.B　由题图可得函数f（x）是单调递增的，则其导函数f'（x）≥0恒成立，排除A、D两个选项；对于B，当x＝0时，f'（0）＝0，对应的原函数此时斜率为零，该选项满足题意；选项C不符合题意.故选B. 2.B　两个导函数的图象在x轴上方说明两个函数都是增函数，y＝f'（x）的函数值由小到大，说明y＝f（x）的图象越来越“陡峭”，y＝g'（x）的函数值由大到小，说明y＝g（x）的图象越来越“平缓”.故选B. 【例3】　解：函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，＋∞）， f'（x）＝. 由f'（x）＝0，可得x＝e. 则当0＜x＜1和1＜x＜e时， f'（x）＜0，f（x）单调递减； 当x＞e时，f'（x）＞0，f（x）单调递增. 故f（x）在（0，1）和（1，e）上单调递减，在（e，＋∞）上单调递增. 【例4】　解：f'（x）＝xe x－2ax＝x（ex－2a）， ①当a≤0时，令f'（x）＝0⇒x＝0， 且当x＜0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增. ②当0＜a＜时，令f'（x）＝0⇒x1＝0，x2＝ln 2a＜0， 且当x＜ln 2a时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当ln 2a＜x＜0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增. ③当a＝时，f'（x）＝x（ex－1）≥0，f（x）在[WT][WTHZ]R[WT][WTBX]上单调递增. ④当a＞时，令f'（x）＝0⇒x1＝0，x2＝ln 2a＞0， 且当x＜0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当0＜x＜ln 2a时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln 2a时，f'（x）＞0，f（x）单调递增. 跟踪训练 解：函数f（x）的定义域为（－∞，＋∞），f'（x）＝ex－a. 若a≤0，则f'（x）＞0. 所以f（x）在（－∞，＋∞）上单调递增. 若a＞0，则当x∈（－∞，ln a）时，f'（x）＜0； 当x∈（ln a，＋∞）时，f'（x）＞0. 所以f（x）在（－∞，ln a）上单调递减，在（ln a，＋∞）上单调递增. 综上所述，当a≤0时，函数f（x）在（－∞，＋∞）上单调递增； 当a＞0时，f（x）在（－∞，ln a）上单调递减，在（ln a，＋∞）上单调递增. 【例5】　[1，＋∞）　解析：由于f'（x）＝k－，f（x）＝kx－ln x在区间（1，＋∞）上单调递增可得f'（x）＝k－≥0在（1，＋∞）上恒成立，即k≥在（1，＋∞）上恒成立，又0＜＜1，所以k≥1.即k的取值范围为[1，＋∞）. 母题探究 1.解：∵f'（x）＝k－，且f（x）在（1，＋∞）上单调递减， ∴f'（x）＝k－≤0在（1，＋∞）上恒成立， 即k≤，∵0＜＜1，∴k≤0. 即k的取值范围为（－∞，0]. 2.解：由题意知，f'（x）＝≥0在[1，＋∞）上恒成立，即a≥－2x2－2x在区间[1，＋∞）上恒成立. ∵y＝－2x2－2x在区间[1，＋∞）上的最大值为－4，∴a≥－4. 经检验，当a＝－4时，f'（x）＝＝≥0，x∈[1，＋∞）. 故实数a的取值范围是[－4，＋∞）. 3.解：f（x）＝kx－ln x，f'（x）＝k－. 当k≤0时，f'（x）＜0. ∴f（x）在（1，＋∞）上单调递减，不合题意. 当k＞0时，令f'（x）＝0，得x＝， 只需∈（1，＋∞），即＞1，则0＜k＜1. ∴k的取值范围是（0，1）. 跟踪训练 解：（1）因为g（x）＝－x3＋x2－ax，所以g'（x）＝－x2＋2x－a. 因为函数g（x）＝－x3＋x2－ax在（0，＋∞）上单调递减， 所以－x2＋2x－a≤0对∀x∈（0，＋∞）成立， 所以a≥－x2＋2x＝－（x－1）2＋1对∀x∈（0，＋∞）成立， 又－（x－1）2＋1≤1， 所以a≥1， 所以实数a的取值集合M为[1，＋∞）. （2）函数y＝lg（2－）在区间[1，＋∞）上单调递增， 所以函数y＝2－为[1，＋∞）上的增函数，且当x≥1时，2－＞0恒成立， 由函数性质可得 所以0＜m＜2. 所以m的取值范围为（0，2）. 随堂检测 1.C　由f（x）的图象可知，函数f（x）的单调递增区间为（1，4），单调递减区间为（－∞，1）和（4，＋∞），因此，当x∈（1，4）时，f'（x）＞0，当x∈（－∞，1）或x∈（4，＋∞）时，f'（x）＜0，结合选项知选C. 2.B　由题意可得，f'（x）＝sin x＋a≥0恒成立，故a≥－sin x恒成立，因为－1≤－sin x≤1，所以a≥1.故选B. 3.　　解析：f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝ln x＋1，令f'（x）＞0，即ln x＋1＞0，得x＞.令f'（x）＜0得0＜x＜，故函数f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是. 4.（－2，0）　解析：f'（x）＝1＋＝，令g（x）＝x＋b（x＞0），则g（x）是增函数，故需g（0）＝b＜0，g（2）＝b＋2＞0，b＞－2，所以b∈（－2，0）. 5.－2　解析：由题知f'（x）＝x2＋2mx＋n，由于函数f（x）＝x3＋mx2＋nx＋1的单调递减区间是（－3，1），所以x＝－3，x＝1是f'（x）＝x2＋2mx＋n的两个零点，根据一元二次方程根与系数的关系得解得所以m＋n＝－2. 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.1　导数与函数的单调性 课标要求 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系（数学抽象、直观想象）. 2.能利用导数研究函数的单调性（逻辑推理、数学运算）. 3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间（数学运算）. 　　研究股票时，我们最关心的是股票的发展趋势（走高或走低）以及股票价格的变化范围（封顶或保底）.从股票走势曲线图来看，股票有升有降.在数学上，函数曲线也有升有降，就是我们常说的单调性. 【问题】　函数的单调性与导数有什么关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　函数的单调性与其导数正负的关系 一般地，函数f（x）的单调性与其导函数f'（x）的正负之间具有如下的关系： （1）在某个区间（a，b）上，如果　　　　　　，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）上单调递增； （2）在某个区间（a，b）上，如果　　　　　　，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）上单调递减. 【想一想】 1.如果在某个区间上恒有f'（x）＝0，那么函数y＝f（x）在这个区间上单调性如何？ 2.在区间（a，b）内，若f'（x）＞0，则f（x）在此区间上单调递增，反之也成立吗？ 3.函数图象的变化趋势与导数值大小有何关系？ 1.函数f（x）＝2x－sin x在（－∞，＋∞）上（　　） A.是增函数 B.是减函数 C.在（0，＋∞）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减 D.在（0，＋∞）上单调递减，在（－∞，0）上单调递增 2.已知二次函数y＝f（x）的图象如图所示，则其导函数y＝f'（x）的图象大致形状是（　　） 3.如图为导函数y＝f'（x）的图象，则函数y＝f（x）的单调递增区间是　　　　，单调递减区间是　　　　. 题型一｜导数与函数单调性的关系 角度1　根据原函数图象确定导函数图象 【例1】　已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则函数y＝f'（x）的图象可能是图中的（　　） 尝试解答 通性通法 　　对于原函数图象，要看其在哪个区间内单调递增，则在该区间内导数值大于零.在哪个区间内单调递减，则在此区间内导数值小于零.根据导数值的正负可判定导函数图象. 角度2　由导函数图象确定原函数图象 【例2】　（1）已知y＝f'（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的图象最有可能是图中的（　　） （2）已知f'（x）是f（x）的导函数，f'（x）的图象如图所示，则f（x）的图象只可能是（　　） 尝试解答 通性通法 　　通过观察导函数图象，确定导数值正负所在区间，也就确定了增减区间；根据导函数图象的变化，可确定原函数增减快慢. 【跟踪训练】 1.已知函数f（x）的图象如图所示，则其导函数f'（x）的图象可能是（　　） 2.已知函数y＝f（x），y＝g（x）的导函数图象如图所示，则y＝f（x），y＝g（x）的图象可能是（　　） 题型二｜利用导数求函数的单调区间 角度1　不含参数的函数求单调区间 【例3】　已知函数f（x）＝，判断函数f（x）的单调性. 尝试解答 通性通法 求函数y＝f（x）的单调区间的步骤 （1）确定函数f（x）的定义域； （2）求导函数f'（x）； （3）解不等式f'（x）＞0（或f'（x）＜0），并写出解集； （4）结合函数f（x）的定义域，根据（3）的结果确定函数f（x）的单调区间. 角度2　含参数的函数求单调区间 【例4】　已知函数f（x）＝（x－1）ex－ax2＋b.讨论f（x）的单调性. 尝试解答 通性通法 含参数的单调性问题解题步骤 【跟踪训练】 　设函数f（x）＝ex－ax－2，求f（x）的单调区间. 题型三｜已知函数的单调性求参数的范围 【例5】　若函数f（x）＝kx－ln x在区间（1，＋∞）上单调递增，则k的取值范围是　　　　. 尝试解答【母题探究】 1.（变设问）本例条件不变，若函数f（x）在区间（1，＋∞）上单调递减，求k的取值范围. 2.（变条件，变设问）若本例中的函数“f（x）＝kx－ln x”换为“f（x）＝x2＋aln（x＋1）（a为常数）”.若函数y＝f（x）在区间[1，＋∞）上单调递增，求实数a的取值范围. 3.（变条件）若将本例中条件“单调递增”改为“不单调”，求k的取值范围. 通性通法 1.利用导数求参数范围的基本思路 （1）将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f'（x）≥0（或f'（x）≤0）恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意； （2）先令f'（x）＞0（或f'（x）＜0），求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f（x）是否满足题意. 2.恒成立问题的重要思路 （1）m≥f（x）恒成立⇒m≥f（x）max； （2）m≤f（x）恒成立⇒m≤f（x）min. 【跟踪训练】 　已知函数g（x）＝－x3＋x2－ax在（0，＋∞）上单调递减，设实数a的取值集合为M. （1）求M； （2）若函数y＝lg（2－）在区间M上单调递增，求实数m的取值范围. 1.设函数f（x）的图象如图所示，则导函数f'（x）的图象可能为（　　） 2.若函数f（x）＝－cos x＋ax为增函数，则实数a的取值范围为（　　） A.[－1，＋∞）　　　　 B.[1，＋∞） C.（－1，＋∞） D.（1，＋∞） 3.函数f（x）＝3＋xln x的单调递增区间是　　　　，单调递减区间是　　　　. 4.已知函数f（x）＝x＋bln x在区间（0，2）上不是单调函数，则b的取值范围是　　　　. 5.已知函数f（x）＝x3＋mx2＋nx＋1的单调递减区间是（－3，1），则m＋n＝　　　　. 提示：完成课后作业　第六章　6.2　6.2.1 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $