专题3 四边形（解答题）【5大考点精讲】-中考高分指南备战2024年中考数学考点总复习（全国通用）

【中考高分指南】数学（解答题） 【备战2024年中考·数学考点总复习】（全国通用） 专题3 四边形（原卷版） 一、平行四边形的性质 1．平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“”表示. 2．平行四边形的性质 （1）边：两组对边分别平行且相等． （2）角：对角相等，邻角互补． （3）对角线：互相平分． （4）对称性：中心对称但不是轴对称． 3．注意： 利用平行四边形的性质解题时一些常用到的结论和方法： （1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半． （2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题． （3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长． 4．平行四边形中的几个解题模型 （1）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE． （2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD≌△CDB； 两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD； 根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半． （3）如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE. （4）如图④，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD． 二、平行四边形的判定 （1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. （2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. （3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. （4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形. （5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 三、矩形的性质与判定 1．矩形的性质： （1）四个角都是直角； （2）对角线相等且互相平分； （3）面积=长×宽=2S△ABD=4S△AOB．（如图） 2．矩形的判定： （1）定义法：有一个角是直角的平行四边形； （2）有三个角是直角； （3）对角线相等的平行四边形． 四、菱形的性质与判定 1．菱形的性质： （1）四边相等； （2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角； （3）面积=底×高=对角线乘积的一半． 2．菱形的判定： （1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形； （2）对角线互相垂直的平行四边形； （3）四条边都相等的四边形． 五、正方形的性质与判定 1．正方形的性质： （1）四条边都相等，四个角都是直角； （2）对角线相等且互相垂直平分； （3）面积=边长×边长=2S△ABD=4S△AOB． 2．正方形的判定： （1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形； （2）一组邻边相等的矩形； （3）一个角是直角的菱形； （4）对角线相等且互相垂直、平分． 六、联系 （1）两组对边分别平行；（2）相邻两边相等；（3）有一个角是直角；（4）有一个角是直角； （5）相邻两边相等；（6）有一个角是直角，相邻两边相等；（7）四边相等；（8）有三个角都是直角． 七、中点四边形 （1）任意四边形所得到的中点四边形一定是平行四边形. （2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形. （3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形. （4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形. 【考点1】平行四边形的性质与判定 【例1】（2023·湖南）（平行四边形的性质）如图，点在▱的边上，，请从以下三个选项中；；，选择一个合适的选项作为已知条件，使▱为矩形． 你添加的条件是______填序号； 添加条件后，请证明▱为矩形． 【例2】（2023·四川）（平行四边形的判定）如图，在四边形中，与交于点，，，垂足分别为点、，且，求证：四边形是平行四边形． 【例3】（2023·江苏）（平行四边形的性质与判定）如图，点，，，分别是平行四边形各边的中点，连接，相交于点，连接、相交于点． 求证：四边形是平行四边形； 若的面积为，求的面积． 1.平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分. 2.平行四边形的性质为我们证明线段平行或相等，角相等提供了新的理论依据． 3.平行四边形的判定方法有五种，在选择判定方法时应根据具体条件而定．对于平行四边形的判定方法，应从边、角及对角线三个角度出发，而对于边又应考虑边的位置关系及数量关系两方面． 1.（2023·山东）（平行四边形的性质）已知：如图，点为▱对角线的中点，过点的直线与，分别相交于点，求证：． 2.（2023·四川）（平行四边形的性质）如图，在▱中，点，在对角线上，． 求证：； ． 3.