化隐圆为显圆，“圆”来如此简单——例谈构造辅助圆的若干思路-冲刺2024年中考数学之压轴题专题突破【特训培优】（全国通用）

化隐圆为显圆，“圆”来如此简单——例谈构造辅助圆的若干思路（原卷版） 名师指导：一些“直线型”的问题，表面看来好像与圆毫无关系,但仔细揣摩，就会发现隐含着圆的知识.若能恰当地构造出辅助圆,则能“化隐圆为显圆”，再充分利用圆的性质,你就会发现问题将变得如此简单.本文精选一些实例，请同学们认真感悟老师构造辅助圆的一些思路. 第1部分 典例精析+变式训练 类型一 圆，一中同长也 （一）利用一定点到几个点的距离相等构造辅助圆 【典例1】（威海中考）如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为（　　） A．68° B．88° C．90° D．112° 【变式训练】 1．如图，O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等．则∠A与∠C的数量关系为（　　） A．∠A＝∠C B．∠A＝2∠C C．∠A﹣∠C＝90° D．∠A+∠C＝180° （二）翻折产生隐圆 【典例2】如图△ABC的面积为22，AB＝11，AC＝5，点P在边AB上（点P与点A不重合），连结CP，作点A关于直线CP的对称点A′，连结A′P、A′C． （1）点C到直线AB的距离是 　 　．（2）设点A′与点B的距离为d，则d的最小值为 　 　． 【变式训练】 1．（鄂州中考真题）如图，菱形ABCD的边AB＝8，∠B＝60°，P是AB上一点，BP＝3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′．当CA′的长度最小时，CQ的长为（　　） A．5 B．7 C．8 D． （3） 旋转产生隐圆（主从联动） 【典例3】如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，CB＝2，点E是斜边AB的中点，把Rt△ABC绕点A顺时针旋转，得Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，EF，CE，在旋转的过程中，△CEF面积的最大值是 　 ． 【变式训练】 1．如图，等边三角形ABC和等边三角形ADE，点N，点M分别为BC，DE的中点，AB＝6，AD＝4，△ADE绕点A旋转过程中，MN的最大值为 　 ． 2．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是⊙O上个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（　　） A．2 B． C． D． 3．如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，M，N分别是AB边和BC的中点，若线段MN绕点M逆时针旋转得到线段MN′，连接BN′，如图2所示． （1）当线段MN绕点M逆时针旋转90°时，线段BN′的长＝　 cm； （2）如图3，连接DN′，则DN′长度的最小值是 　 　cm． 类型二 利用定角对定弦构造圆 （一）直角对定边（此时定边即为直径） 【典例4】如图，正方形ABCD的边长为6，点E是边BC上一动点，点F在边CD上，BF⊥AE，则CG的最小值为 　 ． 【变式训练】 1．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（　　） A．6 B．3 C．24 D．44 2．如图，已知A（2，6）、B（8，﹣2），C为坐标轴上一点，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有（　　）个． A．6 B．7 C．8 D．9 3．【问题提出】 （1）如图1，在Rt△ABC中，点D为边BC的中点，连接AD，若BC＝8，则AD＝　 　； 【问题探究】 （2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为边BC上一点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F，连接BF，求线段BF的最小值； 【问题解决】 （3）在▱ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝6，E为BC边上一点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点E取AF的中点为G，点H为边BC上一点，且BC＝3BH，连接GH，求线段GH长度的最小值． （二）任意角对定边 【典例5】如图，△ABC为等边三角形，AB＝3．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为（　　） A．1.5 B． C． D．2 【变式训练】 1．在平面直角坐标系中，已知A（3，0），B（﹣1，0），点C是y轴上一动点，当∠BCA＝45°时，点C的坐标为 ． 2．在直角坐标系xOy中，点O（0，0），动点A（t，t）在第一象限，动点B（0，m）在y轴上．当AB＝4时，△OAB面积的最大值为（　　） A．8 B． C． D． 3．题型探究： （1）如图①，四边形ABCD为正方形，请在射线CD上找一点P，使△BCP的面积恰好等于四边形ABCD的面积； （2）如图②，在矩形ABCD中，AB，BC＝4．请在直线BC上方找一点Q，使得△BQC是以BC为底的