8.1～8.3 幂的运算 复习学案 2023-2024学年苏科版数学七年级下册

8.1~8.3 幂的运算 【课程导航】 1.幂的运算是初中数学的基本内容，其主要性质有： ⑴同底数幂相乘：底数不变，指数相加，即am·an＝am＋n ⑵幂的乘方：底数不变，指数相乘，即(am)n＝amn ⑶积的乘方：等于乘方的积，即(ab)n＝anbn 法则的推广：当n是正整数时，(abc)n＝a nbncn ［注意］ ①幂的底数和指数不仅仅是单独字母或数字，也可以是某个单项式和多项式. ②幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则的异同 ③多重乘方可以重复运用上述幂的乘方法则：[(am)n]p＝(amn)p＝amnp ④幂的乘方公式可逆用：amn＝(am)n＝(an)m ⑷同底数幂相除：底数不变，指数相减，即am÷an＝am－n (a≠0) ［注意］ 幂运算最后结果中幂的形式应是最简的： ①幂的指数、底数都应是最简的； ②底数中系数不能为负； ③幂的底数是积的形式时，要再用一次(ab)n＝anbn ⑸零指数和负指数：规定a0＝1，a－p＝(其中a≠0，p为正整数) 法则的推广：()－p＝ (其中，m、n均为整数) ⑹科学计数法：a×10n的形式(其中1≤a＜10,n取小数点移动位数，向右移动取负，向左移动取正) 【锦囊妙计】 幂的运算在竞赛和考试中多以比较大小以及计算形式出现，而解决这些类型的题目的关键就是熟悉上述性质，并灵活运用. 【典型例题】 例1. 计算： ⑴(－)－2＋()0＋(－5)3÷(－5)2 ⑵xm·(xn)3÷(xm－1·2x n－1) 思路点拨：运用幂的运算的基本公式进行计算. 解答：解：⑴原式＝(－3)2＋1＋(－5)3－2＝9＋1＋(－5)＝5 ⑵原式＝xm·x3n÷2xm＋n－2＝xm＋3n÷2x m＋n－2＝x2n＋2 点评：此题主要考查学生的幂的运算的基本公式的记忆及运用. 例2. 计算：2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210 思路点拨：本题特殊在利用合并同类项法则可以从后面向前计算. 解答：解：原式＝2－22－23－24－25－26－27－28＋29 (2－1) ＝2－22－23－24－25－26－27－28＋29 … ＝2＋22 ＝6 点评：此题主要考查学生对于同底数幂的乘法的逆运用. 例3.⑴已知3×9m×27m＝316，求m的值. 思路点拨：式子左边的底数有3、9、27，右边只有3，我们可以把两边的底数变为一样再进一步寻找关系解决问题. 解答：解：3×32m×33m＝316 31＋2m＋3m＝316 即5m＋1＝16，解得：m＝3. ⑵(b＋3)b＋2＝1，求整数b. 思路点拨：由幂的运算可知an＝1时，a，n大致满足下面几种情况： ①当a＝1时，n取任意整数，可知b＋3＝1，解得b＝－2； ②当a＝－1，n取偶数，可知，解得b＝－4； ③当a≠0，n＝0，可知，解得b＝－2. 点评：⑴题主要考查同底数幂相等，必须指数也要相等. ⑵题主要考查an＝1时，a，n满足的情况. 例4.已知P＝,Q＝,求P、Q的大小关系. 思路点拨：初中阶段比较大小通常有两个方法：作差法和作商法. 解答：解：作差法：P－Q＝－＝－＝0，所以P＝Q. 作商法：＝×＝1,所以P＝Q. 点评：作差法和作商法是比较大小最常用的两种方法，不仅可以比较数字，也可以比较代数式的大小. 【一显身手】 1、 计算： ⑴10m＋1·102m－1·102－m ⑵(x－2y)2·(x－2y)m－1·(x－2y)m＋2 ⑶(b－a)(a－b)3(b－a)5 ⑷x3·x4＋x·x3·x3＋(－x) (－x)3·x3 ⑸23·24·25－2·22·28 ⑹0.1252006×(22006)3 二、填空题 1．()－1＝ ，(－3)－3＝ ， (π－3)0＝ ，(－)100×2101＝ . 2．0.0001＝10( )，3.01×10－5＝ (写成小数). 3．x2·( )＝x6, x2·x3－x6÷x＝ ． (m2)3÷(m3)2＝ ． 4．比较大小：233 322(填＞、＝、＜)． 5．32÷8n－1＝2n，则n＝ ． 6．如果x＋4y－3＝0，那么2x·16y＝ ． 7．一个长方体的长、宽、高分别为a2，a，a3，则这个长方体的体积是 ． 8．一种花粉的直