圆锥曲线中的定值问题专题练-2024届高考数学一轮基础知识复习

圆锥曲线中的定值问题 一、单选题 1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线过且与椭圆相交于不同的两点，、不在轴上，那么△的周长（    ） A．是定值 B．是定值 C．不是定值，与直线的倾斜角大小有关 D．不是定值，与取值大小有关 2．已知双曲线：，点P为曲线在第三象限一个动点，以下两个命题，则（    ） ①点P到双曲线两条渐近线的距离为，，则为定值. ②已知A、B是双曲线上关于原点对称不同于P的两个点，若PA、PB的斜率存在且分别为，，则为定值. A．①真②真 B．①假②真 C．①真②假 D．①假②假 3．过抛物线的焦点F的一条直线交抛物线于P、Q两点若线段PF与QF的长分别是p、q，则为定值（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．过椭圆的右焦点F作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A，B，C，D四点，则的值为 A． B． C．1 D． 5．过轴上点的直线与抛物线交于，两点，若为定值，则实数的值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 6．过椭圆上一点作圆的切线，且切线的斜率小于，切点为，交椭圆另一点，若是线段的中点，则直线的斜率（    ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．随变化而变化 7．设抛物线：的焦点为，点在上，且，若过上一个定点引它的两条弦，，直线，的斜率存在且倾斜角互为补角，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 8．有如下3个命题； ①双曲线上任意一点到两条渐近线的距离乘积是定值； ②双曲线的离心率分别是，则是定值； ③过抛物线的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是，则直线过定点；其中正确的命题有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 9．过抛物线的焦点作直线交抛物线于M，N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点P.已知是一个定值，则该定值为（    ） A．2 B． C． D． 10．如图，P为椭圆上的一动点，过点P作椭圆的两条切线PA，PB，斜率分别为，.若为定值，则（    ） A． B． C． D． 11．已知A，B分别为双曲线的左、右顶点，P为该曲线上不同于A，B的任意一点，设，，的面积为S，则（    ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 12．设为椭圆上的动点，为椭圆的焦点，为的内心，则直线和直线的斜率之积（　　） A．是定值 B．非定值，但存在最大值 C．非定值，但存在最小值 D．非定值，且不存在最值 二、填空题 13．过轴上定点的动直线与抛物线交于两点，若为定值，则 ． 14．设是椭圆上的两个动点，当两点的纵坐标满足时，是定值，则 ． 15．已知椭圆与直线，，过椭圆上一点作、的平行线，分别交、于、两点．若为定值，则的值是 ． 16．过x轴上点的直线与抛物线交于A，B两点，若为定值，则实数a的值为 ． 17．已知点，关于坐标原点对称，，过点，且与直线相切，若存在定点，使得当运动时，为定值，则点的坐标为 . 18．已知抛物线上三点，若直线AB，AC的斜率互为相反数，则直线BC的斜率为 19．已知椭圆:与直线:,:,过椭圆上的一点作,的平行线,分别交,于,两点,若为定值,则椭圆的离心率为 . 三、解答题 20．已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于点（M在第一象限），，垂足为，直线交轴于点， (1)求的值. (2)若斜率不为0的直线与抛物线相切，切点为，平行于的直线交抛物线于两点，且，点到直线与到直线的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 21．已知椭圆：（）的离心率为，，，，的面积为1. （1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值. 22．已知椭圆的左、右焦点为，离心率为.点是椭圆上不同于顶点的任意一点，射线分别与椭圆交于点，的周长为8. (1)求椭圆的标准方程； (2)设，，的面积分别为.求证：为定值. 23．已知椭圆的离心率，且经过点. (1)求椭圆E的方程； (2)设直线与椭圆E交于A，B两点，且椭圆E上存在点M，使得四边形为平行四边形.试探究：四边形OAMB的面积是否为定值？若是定值，求出四边形的面积；若不是定值，请说明理由. 参考答案： 1．B 椭圆， 椭圆的长轴长为， ∴△的周长为． 2．A 依题意，设，且有，双曲线的渐近线为， 因此为定值，①真； 设，则，且，显然， 否则，之一垂直于y轴，由双曲线对称性知另一条必垂直于x轴，其斜率不存在，不符合题意， 则为定值，②真， 所以①真②真. 3．D 抛物线的焦点F，准线方程为， 显然直线的斜率存在，设为k，则直线的方程为， 由消去x并整理得：，显然， 设，，则，，而，， 因此， 所以为定