精品解析：2024年中国科学技术大学少年班创新班入围考试数学试题

中科大少年班及少创班入围考试数学真题 考试时间：2024年3月9日星期六 本次数学考试，其18个填空题，1个大题. 1. 1-14个数填入正方体顶点和各面中心，求证是否可使各面上顶点及中心所填入数值之和相等. 2. 一只蚂蚁从棱长为1的正方体一个顶点出发沿棱爬行，回到原点，最短路程. 3 求取值范围. 4. ，对任意均成立，求的范围. 5. 求常数项为____. 6. 是双曲线，求范围 7. 求曲线所围成的封闭图形的面积. 8. ，求 9. 某复数，代表点，将绕点顺时针旋转得到，求点坐标. 10. 若分别为平面上的向量，为平面内的定点，的夹角为，.求点轨迹所围的面积是多少？ 11. ，求 12. 8本不同的书分给5人，其中1个2本，1个人3本，剩余三人每人一本，求分配的方法有多少？ 13. 甲乙进行比赛.每一轮，甲胜率，乙胜率为．当其中一人比另一人多胜2轮则获得最终胜利.则甲获胜概率为？ 14. ，和相互独立，，求 15. 下列哪些命题是真命题？_______ （1）是的充要条件 （2） （3），使得 （4）若无理数，则为无理数 16. 到分别为，求的最小值． 17. 的最小正周期为？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 中科大少年班及少创班入围考试数学真题 考试时间：2024年3月9日星期六 本次数学考试，其18个填空题，1个大题. 1. 1-14个数填入正方体顶点和各面中心，求证是否可使各面上顶点及中心所填入数值之和相等. 【答案】否 【解析】 【分析】将个顶点设为，个面中心设为，求出面总和以及所有数的和，找出矛盾即可. 【详解】将个顶点设为，个面中心设为， 则， 则面总和为为奇数， 但面总和应该使的倍数，矛盾， 综上：不可使各面上顶点及中心所填入数值之和相等. 2. 一只蚂蚁从棱长为1的正方体一个顶点出发沿棱爬行，回到原点，最短路程. 【答案】16 【解析】 【分析】根据每个顶点的度为3，且每个定点的出、入度之和为偶数，求出最短路径范围，再找到具体走法且其路径长恰好为最小值即可得解. 【详解】将立方体看成一个平面图形，则每个顶点的度为3，但在回到起点的前提下，每个顶点的入度与出度之和应当是一个偶数，因此至少为4，这说明了最短路径长不小于， 另一方面，设这个正方体为，则的路径长为，且能遍历所有棱且回到原出发点，满足题意，则最短路径长恰为. 3. 求取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】先利用和差化积公式和二倍角公式，转化成和的式子，在利用换元法转化成二次函数的的值域问题求解. 详解】∵. 设，则原式，. 此时把原式看成是关于的一次函数，所以函数的最大最小值必定是时取得. 当时，原式， 当时，原式. 所以原式的取值范围为：. 故答案为：. 4. ，对任意均成立，求的范围. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分离参数可得在恒成立，然后构造函数，转化为，求导即可得到结果. 【详解】由，对任意均成立，可得在恒成立， 构造函数，即， 又，令，可得， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 当时，有极小值，即最小值， 所以， 即的范围为. 5. 求的常数项为____. 【答案】141 【解析】 【分析】以为整体求出展开式的通项，再利用二项式定理求出常数项. 【详解】依题意，的展开式的通项为， 当时，， 当时，展开式的通项， 于是，由，得，则， 此时常数项为， 所以的常数项是. 故答案为：141 6. 是双曲线，求的范围 【答案】 【解析】 【分析】考虑双曲线方程的特点，可求的取值范围. 【详解】由可得 由或， 由 所以的取值范围是：. 7. 求曲线所围成的封闭图形的面积. 【答案】 【解析】 【分析】首先判断曲线对称性，从而确定曲线在第一象限内与轴所围成的图形，再求出图形的面积. 【详解】对于曲线， 将换成得，即曲线关于轴对称， 将换成得，即曲线关于轴对称， 因此只需考虑在第一象限的情形， 当，时曲线即，即， 所以曲线在第一象限内与轴所围成的图形是由半径为的圆去掉一个等腰直角三角形而形成的图形， 根据对称性可得曲线所围成的封闭图形为下图阴影部分， 所以所围成的封闭图形的面积. 8. ，求 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数，对数函数的单调性化简集合，即可由集合的运算求解. 【详解】由 由或，故 由，故， 因此 由于，所以 故 9. 某复数，代表点，将绕点顺时针旋转得到，求点坐标. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，然后可得与相隔，结合三角函数的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为复数代表点，则， 将绕点顺时针旋转得到， 则， 设与轴正半轴夹角为，则与轴正半轴夹角为， 且， 设点， 则， ， 所以. 10. 若分别为平面上的向量，为平面内的定点，的夹角为，.求点