导数综合复习（二）导数计算-2024年高考数学一轮复习

高考数学综合复习 导数综合复习（二） 导数计算 学校： . 班级： . 姓名： . 学科网（北京）股份有限公司 前言 导数是研究函数的变化趋势的一个工具，是初等数学与高等数学中比较常用的一个工具，是研究高等数学的基础。由变化率引出导数，借助导数，不仅可以研究一元函数，而且还可以研究多元函数。 中学阶段，我们需要了解变化率和导数的定义，并通过研究导数的相关性质得出函数的单调性和极最值，体会导数问题的一般研究思路，掌握导数问题的基本研究方法。这一部分内容难度大、知识运用性强，是整个高中数学学习过程中最难的一部分，涉及的题型多，技巧多，思维跳跃性大，需要逐步进行分析，不能图快，一味放弃对难题的解答，需要重视相关思想的培养和训练，如函数思想、方程思想等。 作为高考数学中的一个最为重要内容，无论是哪个高考卷，选择填空和大题都经常能见到导数的身影，常用作选择，填空和大题的压轴题。常常考查函数的求导，构造函数法，高阶函数的求导，函数的几何性质，导数的证明等等，具有非常强的综合性。由于导数在高中数学中是最难的一部分，在高考大题中常作为最后一道压轴题出现，但只要熟练掌握了所有导数知识，并学会了所有导数相关的题型，解决导数问题也是相对容易的。 作为人教A版（2019）选择性必修第二册的重点内容，书本用了一大半的篇幅讲了导数，可见导数的地位是极为重要的。书中从倒数的概念及其意义，导数的运算，导数在研究函数中的应用三个方面对导数进行了简单的介绍，讲述了导数的几何性质，运算，单调性和极最值。学生在学习时如果仅掌握了书本上的知识是远远不够的，还需要掌握一些其他的知识。本系列资料对导数的各个方面进行了详尽的介绍，也把高考数学中导数的所有知识和考试题型进行了较为完整的总结。学生和老师可以根据自身需要去学习相对应的知识，把每个知识点和求解方法都掌握并加以运用，切不可忽视任何一个章节和每一处细节，高考数学对于导数的考查是极其详尽的。 编者：贤岭村村长 2024.01.03 目录 一、导数的计算 1 1.基本初等函数的导数公式 1 2.导数的运算法则 3 3.简单复合函数的导数 3 4.求某点处的导数值 5 5.牛拉法（牛顿—拉夫逊法）求方程近似解 7 二、题型考查 13 1.题型类别 13 2.处理方法 13 3.相关例题 13 三、题组训练 19 学科网（北京）股份有限公司 一、导数的计算 根据导数的定义，求函数的导数，就是求出当时，无限趋近的那个定值。下面我们求几个常用函数的导数。 1.基本初等函数的导数公式 （1） 若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态。 （2） 若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动。 （3） 表示函数的图像（图5.2-3）上点处切线的斜率为，说明随着的变化，切线的斜率也在变化。 从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当时，随着的增加，越来越小，减少得越来越慢；当时，随着的增加，越来越大，增加得越来越快。 若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做变速运动，它在时刻的瞬时速度为。 （4） 表示函数的图象上点处切线的斜率为，这说明随着的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数。 （5） （6） 一般地，有下面的基本初等函数的导数公式表，这些公式可以直接使用。 2.导数的运算法则 3.简单复合函数的导数 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数（composite function），记作。 一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数的导数间的关系为 （或） 即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积。 【例题】（2023上·河北保定·高三保定市第三中学校联考期末）已知，，，，，，例如，则，，，．若，则 ． 【答案】0 【分析】根据复合函数求导运算求解. 【详解】令，则，， 可知，的周期为2， 令，则， 可知，的周期为4， 由题意可得：， ， ， 注意到， 所以. 4.求某点处的导数值 将函数求导，利用导函数即可得出某点处的导数值。 【例题】（2023上·湖北·高二期末）已知函数，则在处的导数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对求导，将代入求即可. 【详解】由已知可得， 所以，所以 故选：A. 5.牛拉法（牛顿—拉夫逊法）求方程近似解 人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题。牛顿（IsaacNe