第一章 专题训练(四) 构造等腰三角形的常用方法-【四清导航•辽宁专版】2022-2023学年八年级数学下册作业课件(北师大版)

专题训练(四)　构造等腰三角形的常用方法 1．1　等腰三角形 数学 八年级下册 北师版 四清导航 方法一　作平行线构造等腰三角形 模型展示 角平分线＋平行线 作腰的平行线 作底边的平行线 条件 ∠1＝∠2，AC∥OB AB＝AC DE∥AC AB＝AC DE∥BC 结论 OA＝AC DB＝DE AD＝AE 2 1.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，且AE是∠BAD的平分线，求证：AD＝AB＋CD. 证明：延长DC，AE交于点F，∵AB∥CD， ∴∠F＝∠BAE.又∵E为BC的中点，∴CE＝BE. 又∵∠FEC＝∠AEB，∴△ABE≌△FCE(AAS)， ∴AB＝CF.∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠F＝∠DAE，∴AD＝DF＝CD＋CF＝CD＋AB 3 2．(辽阳月考)如图，在△ABC中，AB＝AC，在AB上取一点E，在AC的延长线上取一点F，使CF＝BE，连接EF，交BC于点D.求证：DE＝DF. 证明：过点E作EG∥AC，交BC于点G，则∠BGE＝∠ACB，∠GED＝∠F，∠EGD＝∠FCD.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠BGE，∴BE＝EG.又∵CF＝BE，∴CF＝GE，∴△GED≌△CFD(ASA)，∴DE＝DF 4 3．如图，已知点A(－10，0)，以OA为边在第二象限作等边△AOB. (1)求点B的横坐标； (2)点M，N分别为OB，OA边上的动点，以MN为边在x轴上方作等边△MNE，连接OE，当∠EMO＝45°时，求∠MEO的度数． 5 6 方法二　利用截长补短法构造等腰三角形 模型展示 截长法 补短法 截长法 补短法 条件 ∠1＝∠2，∠B＝2∠C ∠1＝∠2，∠B＝90°＋∠C 方法 在AC上截取AE＝AB 延长AB至点E，使BE＝BD　　 在AC上截取AE＝AB 延长AB至点E，使AE＝AC　　 结论 AC＝AB＋BD AC＝AB＋CD 7 4.如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝108°，BD平分∠ABC交AC于点D，求证：AB＝AD＋BC(至少用2种方法证明)． 8 9 5．如图，点D是△ABC的三个内角平分线AD，BD，CD的交点，且AB＋BD＝AC.求证：∠ABC＝2∠ACB(至少用2种方法证明)． 10 11 方法三　利用折半加倍法构造等腰三角形 6．如图，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，CD平分∠ACB交AB于点D，求证：AC＋AD＝BC(至少用2种方法证明). 13 证明：方法1：如图①，延长BA至点E，使AE＝AC，连接CE，则∠E＝∠ACE，∴∠CAB＝∠E＋∠ACE＝2∠E＝2∠B，∴∠ACE＝∠E＝∠B，∴CE＝CB.又∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴∠ACD＋∠ACE＝∠BCD＋∠B，即∠ECD＝∠EDC，∴CE＝DE＝AE＋AD＝AC＋AD，∴BC＝AC＋AD 方法2：如图②，在BC上取一点E，使得∠EDB＝∠B，则DE＝BE，∠CED＝∠B＋∠EDC＝2∠B＝∠A.又∵∠ACD＝∠DCE，CD＝CD，∴△ACD≌△ECD，∴AD＝DE＝BE，CE＝AC，∴BC＝CE＋BE＝AC＋AD 14 7．如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线．若∠ABC＝2∠ACB，∠ACB的平分线OC与BD相交于点O，且OC＝AB，求∠A的度数． 15 16 解：(1)过点B作BD⊥OA于点D，∵△AOB为等边三角形，点A(－10，0)，∴OA＝10.又∵BD⊥OA，∴OD＝ eq \f(1,2) OA＝5，∴点B的横坐标为－5 (2)过点M作MF∥AB交OA于点F，∵△AOB为等边三角形，∴∠MFO＝∠BAO＝60°，∠FMO＝∠ABO＝60°，∴△MOF为等边三角形，∴MF＝MO.又∵△MNE是等边三角形，∴∠NME＝60°＝∠FMO，MN＝ME，∴∠FMN＝∠OME，∴△MFN≌△MOE(SAS)，∴∠MOE＝∠MFN＝60°，∴∠MEO＝180°－∠MOE－∠EMO＝180°－60°－45°＝75° 证明：方法1(截长法)：如图①，在AB上截取BE＝BC，连接ED，∵CA＝CB，∴∠A＝∠ABC＝ eq \f(1,2) (180°－∠ACB)＝36°.又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝ eq \f(1,2) ∠ABC＝18°.又∵BE＝BC，BD＝BD，∴△CBD≌△EBD(SAS)，∴∠BED＝∠ACB＝108°，∴∠AED＝72°，∴∠ADE＝180°－∠A－∠AED＝72°＝∠AED，∴AD＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AD＋BC 方法2(补短法)：如图②，延长BC至点F，使BF＝AB，连接FD，∵AB＝BF，∠ABD＝∠FBD，BD＝BD，∴△ABD≌△FBD(S