10.2球的体积与表面积讲义-2024届高三数学大一轮复习讲义

2024届高三第一轮复习教学案 主备人:XXX 审核:数学组 累计 课时 § 10.2球的体积与表面积 学习目标 1、了解球的体积表面积公式； 2、理解几何体切接球的球心； 3、能通过构建直角三角形算半径。 考向预测 1、 考查球的基本概念； 2、 考查球的体积、表面积； 3、 考查多面体与球体的切接问题。 核心素养 空间想象 重点难点 重点：球的体积、表面积； 难点：多面体与球体的切接问题。 知识清单 1、球的体积、表面积公式 (1)球的体积公式：(R为球的半径) (2)球的表面积公式：(R为球的半径) 2、球心的确定 (1)由球的定义确定 ①长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点； ②正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点； ③直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点； ④正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到． (2)构造长方体或正方体确定 ①正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补成长方体或正方体； ②同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补成长方体或正方体； ③若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体； ④若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体． (3)由球的性质确定 通过寻找外接球的一个轴截面，把立体几何问题转化为平面几何问题来研究． 考点突破 考点一 几何体的外接球 [ [例1] (2019·全国卷Ⅰ)已知三棱锥P­ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为(　　) A．8π B．4π C．2π D．π [解析：∵E，F分别是PA，AB的中点，∴EF∥PB. ∵∠CEF＝90°，∴EF⊥EC，∴PB⊥EC， 又∵三棱锥P­ABC为正三棱锥，∴PB⊥AC，从而PB⊥平面PAC，∴三条侧棱PA，PB，PC两两垂直． ∵△ABC是边长为2的正三角形，∴PA＝PB＝PC＝， 则球O是棱长为的正方体的外接球，设球O的半径为R， 则2R＝×，R＝，∴球O的体积V＝πR3＝π.故选D. [例2] 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的体积是________． [解析：三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则可将三棱锥补形成正方体．从而其外接球的直径为3，半径为，故所求外接球的体积V＝×3＝. [例3] 一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为________． 解析：由题意得，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，球的直径就是正方体的体对角线，所以(R为球的半径)，可知R=，故球的体积V=πR3=4π. [例4] 已知矩形ABCD的顶点都在半径为2的球O的球面上，且AB=3，BC=，DE垂直于平面ABCD交球O于点E，则棱锥E-ABCD的体积为________．　　　.  解析：由设AE=m，(R为球的半径)，解得m=2，故棱锥的体积V=×3××2=2. [例5] 正三棱锥A­BCD内接于球O，且底面边长为，侧棱长为2，则球O的表面积为________． [解析]　如图，设三棱锥A­BCD的外接球的半径为r，M为正△BCD的中心，因为BC＝CD＝BD＝，AB＝AC＝AD＝2，AM⊥平面BCD，所以DM＝1，AM＝，又OA＝OD＝r，所以(－r)2＋1＝r2，解得r＝，所以球O的表面积S＝4πr2＝. [例6] 若正三棱柱ABC­A′B′C′的底面边长为2，侧棱长为1，其顶点都在同一个球面上，则球的表面积为________．　 [解析]　如图，H′，H分别为上、下底面的中心，HH′的中心O为外接球的球心． 由题意得，在Rt△OAH中，AH＝，OH＝， 则外接球的半径R＝OA＝＝ ， 表面积S＝4πR2＝. 总结提升 ※ 总结 1、球的体积、表面积公式 (1)球的体积公式：(R为球的半径) (2)球的表面积公式：(R为球的半径) 2、球心的确定 学习评价 ※ 自我评价 对自己的学习情况进行评价（ ） A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 学科网（北京）股份有限公司 $$