专题训练(九) 构造全等三角形的常用方法与技巧-【四清导航•河南专版】2022-2023学年七年级数学下册作业课件(北师大版)

专题训练(九)　构造全等三角形的常用方法与技巧 数学 七年级下册 北师版 四清导航 方法一 知中点, 利用倍长中线法构造全等三角形 2 1．如图，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE＝AB，∠BAC＝∠BCA，试说明：AE＝2AD. 3 解：延长AD至点M，使DM＝AD，连接CM，因为AD是△ABC的中线，所以BD＝CD.又因为∠ADB＝∠MDC，AD＝DM，所以△ABD≌△MCD(SAS)，所以CM＝AB＝CE，∠B＝∠MCD.又因为∠BAC＝∠BCA，所以∠B＋∠BAC＝∠MCD＋∠ACB，即∠ACE＝180°－∠ACB＝∠ACM.又因为AC＝AC，CM＝CE，所以△ACM≌△ACE(SAS)，所以AE＝AM＝AD＋DM＝2AD 4 2．如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.试说明：BE＋CF＞EF. 5 解：延长ED到点G，使DG＝ED，连接CG，FG，在△DCG与△DBE中，因为CD＝BD，∠CDG＝∠BDE，DG＝DE，所以△DCG≌△DBE(SAS)，所以CG＝BE.在△DEF和△DGF中，因为DE＝DG，∠EDF＝∠GDF＝90°，DF＝DF，所以△DEF≌△DGF(SAS)，所以FG＝FE.在△CFG中，因为CG＋CF＞FG，所以BE＋CF＞EF 6 方法二　知中点，两端作垂构造全等三角形 3．如图，BC⊥CE，BC＝CE，AC⊥CD，AC＝CD，DE交AC的延长线于点M，M是DE的中点，试说明：AB⊥AC. 解：过点E作EN⊥AM的延长线于点N，因为AC⊥CD，EN⊥MN，所以∠DCM＝∠ENM＝90°.又因为M是DE的中点，所以DM＝EM.又因为∠CMD＝∠NME，所以△DCM≌△ENM(AAS)，所以CD＝EN.又因为AC＝CD，所以EN＝AC.因为BC⊥CE，所以∠BCA＋∠ECN＝90°.又因为∠ECN＋∠CEN＝90°，所以∠BCA＝∠CEN.又因为BC＝CE，所以△ABC≌△NCE(SAS)，所以∠BAC＝∠CNE＝90°，所以AB⊥AC 4．如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE.试说明：AB＝CD. 方法三 利用“截长补短法”构造全等三角形 5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC，∠BCD的平分线交于AB边上的点E.试说明：CD＝AD＋BC. 解：在CD上截取DF＝DA，连接EF，因为DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，所以∠ADE＝∠FDE，∠BCE＝∠FCE.又因为DA＝DF，DE＝DE，所以△EAD≌△EFD(SAS)，所以EA＝EF，∠DAE＝∠DFE.又因为AD∥BC，所以∠EBC＝180°－∠DAE＝180°－∠DFE＝∠EFC.又因为∠BCE＝∠FCE，EC＝EC，所以△EBC≌△EFC(AAS)，所以BC＝FC，所以CD＝DF＋FC＝AD＋BC 6．(郑州中原区月考)如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＋DE＝CD，∠ABC＋∠AED＝180°，试说明：AD平分∠CDE. 方法四　根据“一线三等角”构造全等三角形 7．如图，AB⊥AC，且AB＝AC，AD⊥CD，E是CD上的一点，且DE＝AD，连接BE，延长AD交BE于点F，试说明：EF＝BF. 8．如图，点A在直线l上，AB⊥AC，AB＝AC，AD⊥AE，AD＝AE，连接BD，CE，BD⊥l于点F，CE交直线l于点G，试说明：G是CE的中点． 解：分别过点C，E作CM⊥l于点M，EN⊥l于点N，因为AB⊥AC，BD⊥l，所以∠BFA＝∠AMC＝90°，∠B＋∠BAF＝∠BAF＋∠CAM＝90°，所以∠B＝∠CAM.又因为AB＝AC，所以△ABF≌△CAM(AAS)，所以AF＝CM.同理可得△ADF≌△EAN，所以EN＝AF＝CM.又因为∠CMG＝∠ENG＝90°，∠CGM＝∠EGN，所以△CMG≌△ENG(AAS)，所以CG＝EG，所以G是CE的中点 解：过点C作CG⊥DE于点G，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于点F，则∠CGE＝∠BFE＝90°.在△CGE和△BFE中，因为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠CGE＝∠BFE，,∠GEC＝∠FEB，,CE＝BE，)) 所以△CGE≌△BFE(AAS)，所以BF＝CG.在△ABF和△DCG中，因为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BAF＝∠CDG，,∠BFA＝∠CGD＝90°，,BF＝CG，)) 所以△ABF≌△DCG(AAS)，所以AB＝CD 解：连接AC，延长DE至点F，使EF＝BC，连接AF，因为BC＋DE＝CD，EF＋DE＝DF，所以CD＝FD.因为∠ABC＋∠AED＝180°，∠AEF＋∠AED＝180°，所以∠AB