9.3基本不等式讲义-2024届高三数学一轮复习讲义

2024届高三第一轮复习教学案（数学组） 主备人:王平 审核:数学组 累计 课时 § 9.3基本不等式 学习目标 1、了解基本不等式的证明过程； 2、会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题； 3、会用常见的几种不等式解题。 考向预测 1、 利用基本不等式求最值； 2、 利用基本不等式解决实际问题； 3、 基本不等式的综合应用。 核心素养 数学运算、数学建模 重点难点 重点：学会使用基本不等式； 难点：会用常见的几种不等式解题。 知识清单 1、基本不等式≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b. 2、几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (2)ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (3)≥2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (4)＋≥2(a，b∈R，且a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号． 考点突破 考点一 利用基本不等式求最值 [ 方法(一)　直接法 1、(必修5P99例1(2)改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为________． 解析：∵x>0，y>0，∴≥， 即xy≤2＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81. 2、(2020届福建福州模拟)设a，b是实数,且a+b=3，则2a+2b的最小值是________． 解析：∵2a>0，2b>0， ∴2a+2b≥2=2=4， 当且仅当2a＝2b时，即，a=b=，最大值为4. 3、设a，b是实数,且a-3b+6=0，则2a+的最小值是________． 解析：∵2a>0，>0， ∴2a+≥2=2=， 当且仅当2a＝2-3b时，即，a=-3，b=1，最小值为. 4、设a，b是实数,且a2+b2=6，则b的最大值是________． 解析：∵b2>0，a2+4>0， ∴b≤=5， 当且仅当b＝时，即，a=-1，b=，最大值为5. 方法(二)　拼凑法 1、若x>1，则x＋的最小值为________． 解析：x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5. 当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立． 2、已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________． 解析：因为x<，所以5－4x>0， 则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝， 即x＝1时，取等号．故f(x)＝4x－2＋的最大值为1. 3、函数y＝(x>1)的最小值为________． 解析：y＝＝＝ ＝(x－1)＋＋2≥2＋2. 当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，取等号． 方法(三)　巧用“1”法 1、已知a>0，b>0，a＋b＝1，则＋的最小值为________． [解析]　因为a＋b＝1， 所以＋＝(a＋b)＝2＋≥2＋2 ＝2＋2＝4.当且仅当a＝b＝时，取等号． 2、（变式）已知a>0，b>0，a＋2b＝3，则＋的最小值为________． 解析：因为a＋2b＝3，所以a＋b＝1. 所以＋＝＝＋＋＋≥1＋2 ＝1＋. 当且仅当a＝b时，取等号． 3、（变式）已知a>0，b>0，a＋b＝1，则的最小值为________． 解析：＝ ＝＝5＋2≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝时，取等号． 方法(四)　换元消元法 1、已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________． [解析]　法一：(换元消元法) 由已知得x＋3y＝9－xy， 因为x>0，y>0，所以x＋3y≥2， 所以3xy≤2，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0. 令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0， 得t≥6，即x＋3y的最小值为6. 法二：(代入消元法) 由x＋3y＋xy＝9，得x＝， 所以x＋3y＝＋3y＝＝＝ ＝3(1＋y)＋－6≥2 －6＝12－6＝6.即x＋3y的最小值为6. 方法(五)　多次运用 1、已知a>b>0，那么a2＋的最小值为________． [解析]　由a>b>0，得a－b>0， ∴b(a－b)≤2＝. ∴a2＋≥a2＋≥2 ＝4， 当且仅当b＝a－b且a2＝，即a＝，b＝时取等号． ∴a2＋的最小值为4. 考点二 基本不等式与其他知识的交汇 1、 已知直线ax＋by＋c－1＝0(b>0，c>0)经过圆C：x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是（ ） [解析]：把圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程为x2＋(y－1)2＝6，所以圆心为C(0,1)． 因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C， 所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1.又b>0