专题训练(七) 与特殊三角形和平行四边形有关的二次函数综合-【四清导航•河南专版】2022-2023学年九年级数学下册作业课件(华东师大版)

专题训练(七)　与特殊三角形和平行四边形有关的二次函数综合 第26章　二次函数 数学 九年级下册 华师版 四清导航 2 3 4 5 6 7 8 9 10 类型之一　与特殊三角形有关的二次函数综合 1．(玉林节选)如图①，已知抛物线：y＝－2x2＋bx＋c与x轴交于点A，B(2，0)(A在B的左侧)，与y轴交于点C，对称轴是直线x＝ eq \f(1,2) ，P是第一象限内抛物线上的任一点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D为线段OC的中点(如图②)，则△POD能否是等边三角形？请说明理由． 解：(1)由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－8＋2b＋c＝0，,－\f(b,－4)＝\f(1,2)，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝2，,c＝4，)) ∴抛物线的解析式为y＝－2x2＋2x＋4 (2)△POD不可能是等边三角形，理由如下：如图②，取OD的中点E，过点E作EP∥x轴，交抛物线于点P，连接PD，PO，∵C(0，4)，E是OD的中点，∴E(0，1)，当y＝1时，－2x2＋2x＋4＝1，2x2－2x－3＝0，解得x1＝ eq \f(1＋\r(7),2) ，x2＝ eq \f(1－\r(7),2) (舍)，∴P( eq \f(1＋\r(7),2) ，1)，∴OD≠PD，∴△POD不可能是等边三角形 2．如图，若抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y＝x－3经过点B，C. (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线BC下方抛物线上一动点， 过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点M， 连结PC. ①线段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由； ②在点P运动的过程中，是否存在点M，恰好使△PCM是以PM为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 解：(1)易求得B，C的坐标分别为(3，0)，(0，－3)，抛物线的表达式为y＝x2－2x－3 (2)设点M(x，x－3)，则点P(x，x2－2x－3). ①有，理由：PM＝(x－3)－(x2－2x－3)＝－(x－ eq \f(3,2) )2＋ eq \f(9,4) .∵－1<0，故PM有最大值，当x＝ eq \f(3,2) 时，PM最大值为 eq \f(9,4) ②存在，点P的坐标为(2，－3)或(3－ eq \r(2) ，2－4 eq \r(2) ) 类型之二　与平行四边形有关的二次函数综合 3．(烟台改编)如图，已知直线y＝ eq \f(4,3) x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝－1. (1)求抛物线的表达式； (2)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q， 使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为 对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐 标；若不存在，请说明理由． 解：(1)当x＝0时，y＝4，∴C(0，4)，当y＝0时， eq \f(4,3) x＋4＝0，∴x＝－3，∴A(－3，0)，∵对称轴为直线x＝－1，∴B(1，0)，∴设抛物线的表达式：y＝a(x－1)·(x＋3)，∴4＝－3a，∴a＝－ eq \f(4,3) ，∴抛物线的表达式为：y＝－ eq \f(4,3) (x－1)·(x＋3)＝－ eq \f(4,3) x2－ eq \f(8,3) x＋4 (2)设P(－1，n)，∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，∴PA＝PC，即PA2＝PC2，∴(－1＋3)2＋n2＝1＋(n－4)2，∴n＝ eq \f(13,8) ，∴P(－1， eq \f(13,8) )，∵xP＋xQ＝xA＋xC，yP＋yQ＝yA＋yC∴xQ＝－3－(－1)＝－2，yQ＝4－ eq \f(13,8) ＝ eq \f(19,8) ，∴Q(－2， eq \f(19,8) ) 4．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴交于A(－1，0)，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x＝ eq \f(3,2) . (1)求抛物线的解析式； (2)将抛物线y＝ax2＋bx＋4沿x轴向左平移 t个单位长度后得到一条新的抛物线，对于 此抛物线，当－5≤x≤－1时，y的最大值为 eq \f(9,4) ， 求t的值； (3)点M是直线BC上的一个动点(不与点B，C重合)，过点M作x轴的垂线与抛物线y＝ax2＋bx＋4相交于点N，若以点C，O，M，N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的横坐标． 解：(1)抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4 (2)∵y＝－x2＋3x＋4＝－(x－ eq \f(3,2) )2＋ eq \f(25,4) ，∴平移后的抛物线的解析