专题训练(一) 巧用抛物线的对称性解题-【四清导航•河南专版】2022-2023学年九年级数学下册作业课件(华东师大版)

专题训练(一)　巧用抛物线的对称性解题 数学 九年级下册 华师版 四清导航 2 7 8 3 4 5 D 3 D ＝ a＋4 D 3≤y＜7 4≤y＜12 3≤y≤12 3≤y＜12 17 A 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是以x＝－ eq \f(b,2a) 为对称轴的轴对称图形，顶点在对称轴上，基于此，我们可以有以下解题思路：①任意给出抛物线上对称的两点(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＝y2，对称轴为x＝ eq \f(x1＋x2,2) ；②已知对称轴(或顶点坐标)和抛物线上任意一点，可以由对称性得到另一点；③对于一些复杂问题，可以利用对称性作图，通过数形结合解题. 类型之一　利用对称性求对称点坐标 1．(河南模拟)如果点A(1，3)，B(m，3)是抛物线y＝a(x－4)2＋h上两个不同的点，那么m的值为________________． 2．(河南中考)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为(－2，0)，抛物线的对称轴为直线x＝2，则线段AB的长为____________． 3．如图，菱形ABCD的三个顶点在二次函数y＝ax2－2ax＋ eq \f(3,2) (a＜0)的图象上，点A，B分别是该抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点，则点D的坐标为________________． (2， eq \f(3,2) ) 4．(驻马店正阳县期末节选)已知二次函数y＝ax2－4ax＋a－b(a≠0)的图象与平行于x轴的直线l交于A，B两点，其中点A的坐标为(－1，2).求抛物线的对称轴和点B的坐标. 解：∵二次函数y＝ax2－4ax＋a－b，∴对称轴是直线x＝－ eq \f(－4a,2a) ＝2，∵A的坐标为(－1，2)，且点A与点B关于直线x＝2对称，AB//x轴，∴B(5，2)，答：抛物线的对称轴是直线x＝2，点B的坐标为(5，2) _1234567890.doc 解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)2－4，把(1，0)代入得4a－4＝0，解得a＝1，所以抛物线的解析式为y＝(x＋1)2－4 类型之二　利用对称性求二次函数的表达式 5．(西华县一模)已知抛物线y＝－x2＋bx＋4经过点(－3，m)和(5，m)两点，则b的值为( ) A．－2 B．－1 C．1 D．2 6．(宁波中考改编)二次函数y＝(x－1)(x－a)(a为常数)的图象的对称轴为直线x＝2.则a的值为_______________． 7．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(－1，4)，与x轴两交点间的距离为6，求此抛物线的函数表达式. 解：y＝－ eq \f(4,9) (x＋1)2＋4 类型之三　利用对称比较函数值的大小 8．(温州中考)已知点A(a，2)，B(b，2)，C(c，7)都在抛物线y＝(x－1)2－2上，点A在点B左侧，下列选项正确的是( ) A．若c<0，则a<c<b B．若c<0，则a<b<c C．若c>0，则a<c<b D．若c>0，则a<b<c 9．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)与x轴分别交于(－1，0)，(5，0)两点，当自变量x＝1时，函数值为y1；当x＝3时，函数值为y2，则y1______y2.(填“>”“＝”或“<”) 类型之四　巧用抛物线的对称性解其他问题 10．如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x＝－2，点C在抛物线上，且位于点A，B之间(C不与A，B重合).若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为___________．(用含a的式子表示 11．如图，已知矩形ABCD的四个顶点分别在抛物线y1＝ eq \r(2) x2，y2＝－ eq \r(2) x2上，且矩形各边与坐标轴平行，点A的横坐标为－1，则阴影部分的面积之和是_____________． eq \r(2) 12．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(8，0)，B(2，0)，C(0，－6)三点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PBOC的周长最小？若存在，求出四边形PBOC周长的最小值；若不存在，请说明理由． 解：(1)设抛物线解析式为y＝a(x－8)(x－2)，把C(0，－6)代入得a·(－8)·(－2)＝－6，解得a＝－ eq \f(3,8) ，∴抛物线解析式为y＝－ eq \f(3,8) (x－8)(x－2)，即y＝－ eq \f(3,8) x2＋ eq \f(15,4) x－6 (2)存在．∵A(8，0)，B(2，0)，∴抛物线的对称轴为直线x＝5，连接AC交直线x＝5于点P，如图，则PA＝PB，PB＋PC＝PC