2024届高三数学一轮复习-三角恒等变换与解三角形 讲义

2024年高中数学高考一轮复习-三角恒等变换与解三角形 一、知识点梳理 变换公式 正弦 和差角公式 倍角公式 余弦 正切 三角恒等变换与解三角形 正弦 定理 定理 。 射影定理： 变形 （外接圆半径）。 类型 三角形两边和一边对角、三角形两角与一边。 余弦 定理 定理 。 变形 等。 类型 两边及一角（一角为夹角时直接使用、一角为一边对角时列方程）、三边。 面积 公式 基本 公式 。 导出 公式 （外接圆半径）；（内切圆半径）。 实际 应用 基本思想 把要求解的量归入到可解三角形中。在实际问题中，往往涉及到多个三角形，只要根据已知逐次把求解目标归入到一个可解三角形中。 常用术语 仰角 视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角。 俯角 视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角。 方向角 方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般是锐角，如北偏西30°）。 方位角 某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角。 二、考点梳理 考点1：正余弦定理综合应用 考点2：实际应用 考点3：角平分线、中线、高问题 考点4：解三角形范围与最值问题 考点5：外接圆问题 考点6：周长与面积问题 考点7：解三角形中的几何应用 知识点1：正余弦定理综合应用 1. 在中，已知，，，则　　 A．1 B． C． D．3 2. 已知中，角，，所对的边，，，则 ． 3. 在中，内角，，的对边分别是，，，若，且，则　　 A． B． C． D． 4. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 5. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）若，求； （2）证明：． 6. 在中，角，，的对边分别为，，．已知，，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）求的值． 7. 已知、、为的三个内角，、、是其三条边，，． （1）若，求、； （2）若，求． 知识点2：实际应用 8. 我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形直角边的长分别为3，4，记大正方形的面积为，小正方形的面积为，则 ． 9. 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有，，三点，且，，在同一水平面上的投影，，满足，．由点测得点的仰角为，与的差为100；由点测得点的仰角为，则，两点到水平面的高度差约为　　 A．346 B．373 C．446 D．473 10. 魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”， 称为“表距”， 和都称为“表目距”， 与的差称为“表目距的差”，则海岛的高　　 A．表高 B．表高 C．表距 D．表距 11. 某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与水平面所成夹角为．行人每沿着斜坡向上走消耗的体力为，欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则 ． 知识点3：角平分线、中线、高问题 12. 在中，，，，为上一点，为的平分线，则 ． 13. 在中，，，是的中点，，则　 　． 14. 记的内角，，的对边分别为，，，已知面积为，为的中点，且． （1）若，求； （2）若，求，． 15. 已知在中，，． （1）求； （2）设，求边上的高． 16. 在中，，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求边上的中线的长． 条件①； 条件②的周长为； 条件③的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 知识点4：解三角形范围与最值问题 17. 已知中，点在边上，，，．当取得最小值时， ． 18. 如图，在同一平面上，，，为中点，曲线上任一点到距离相等，角，，关于对称，； （1）若点与点重合，求的大小； （2）在何位置，求五边形面积的最大值． 19. 记的内角