精品解析：湖南省长郡中学2023-2024学年高二下学期寒假检测（开学考试）数学试题

长郡中学2024年高二寒假作业检测 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若a＞1，则的最小值是（ ） A. 2 B. a C. D. 3 3. 已知3、4、5、7、五个数据，均值，若再增加2、8两个数后，这七个数据的均值和方差应该是（ ） A. 5，2 B. 5，3 C. 5，4 D. 6，2 4. 已知则（ ） A. B. C. D. 5. 设且，若能被13整除，则a等于（ ） A. 0 B. 1 C. 11 D. 12 6. 甲、乙两人要在一排7个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人两旁都有空座，则不同的坐法有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 15种 D. 30种 7. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，点在上．若，，则到的距离等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数及其导函数定义域均为，满足，且为奇函数，记，其导函数为，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分） 9. ，且，则实数a的值为（ ） A. － B. C. D. 10. 关于曲线，下列叙述正确的是（ ） A. 当时，曲线表示图形是一个焦点在轴上的椭圆 B. 当时，曲线表示的图形是一个焦点在轴上的双曲线，且焦距为4 C. 当时，曲线表示的图形是一个椭圆 D. 当或时，曲线表示图形是双曲线 11. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若复数，满足，则 C. 若复数为纯虚数，则 D. 若复数满足，则的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知等差数列中，，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第41项为______. 13. 古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果，其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆的公切线的条数为______. 14. 已知函数，若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，，，，则的取值范围是____________ 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角A的大小； （2）若，且的面积为，求的周长. 16. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，为的中点． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的平面角的正弦值． 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：． 18. 设分别是双曲线左、右两焦点，过点的直线与的右支交于M，N两点，过点（﹣2，3），且它的虚轴的端点与焦点的距离为． （1）求双曲线的方程； （2）当时，求实数m的值； （3）设点M关于坐标原点O的对称点为P，当时，求△PMN面积S的值． 19. 某商场拟在周末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：该游戏进行10轮，若在10轮游戏中，参与者获胜5次就送2000元礼券，并且游戏结束：否则继续游戏，直至10轮结束．已知该游戏第一次获胜的概率是，若上一次获胜则下一次获胜的概率也是，若上一次失败则下一次成功的概率是．记消费者甲第次获胜的概率为，数列的前项和，且的实际意义为前次游戏中平均获胜的次数． （1）求消费者甲第2次获胜的概率； （2）证明：等比数列；并估计要获得礼券，平均至少要玩几轮游戏才可能获奖． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长郡中学2024年高二寒假作业检测 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用交集的定义求解即可 【详解】， 故选：B 2. 若a＞1，则的最小值是（ ） A. 2 B. a C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】原式可化为形式且a＞1，即可用基本不等式求最小值，注意等号成立为a＝2 【详解】由a＞1，有a－1＞0 ∴， 当且仅当， 即a＝2时取等号. 故选：D 【点睛】本题考查了基本不等式的