2024年 九年级数学中考复习 开放探究综合压轴题 专题提升训练

2024年春九年级数学中考复习《开放探究综合压轴题》专题提升训练（附答案） 1．点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．回答下列问题： （1）数轴上表示2和5两点之间的距离是______，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是______． （2）数轴上表示和－2的两点之间的距离表示为______； （3）七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子进行探究： ①请你在草稿纸上画出数轴，当表示数的点在-2与3之间移动时，的值总是一个固定的值为：______． ②请你画出数轴，探究：是否存在数，使？如果存在，则在数轴上表示出来，并写出的值；如果不存在，简要说明理由．    2．如图所示，AB、CD相交于点O，∠A＝48°，∠D＝46°． (1) 若BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，求∠BEC的度数； (2) 若直线BM平分∠ABD交CD于F，CM平分∠DCH交直线BF于M，求∠BMC的度数．                3．如图，在正方形ABCD中， ，点E为对角线AC上一动点（点E不与点A、C重合），连接DE，过点E作，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）求AC的长； （2）求证矩形DEFG是正方形； （3）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 4．在中，AB=AC，点D是直线BC上一点(不与B、C重合)，以AD为一边在AD的右侧作，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE （1）如图1，当点D在线段BC上，且∠BAC=90°． ①说明：； ②线段CE、CD、BC的数量关系为______． （2）如图2，当点D在直线BC上，设∠BAC=α，∠BCE=β．则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 5．如图1，已知直角三角形，，，点是边上一点，过作于点，连接，点是中点，连接，． （1）发现问题： 线段，之间的数量关系为______；的度数为______； （2）拓展与探究： 若将绕点按顺时针方向旋转角，如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； （3）拓展与运用： 如图3所示，若绕点旋转的过程中，当点落到边上时，边上另有一点，，，连接，请直接写出的长度．    6．问题探究：如图1，在中，点是的中点，交于点交于，连接． （1）与之间的关系为：___；（填“”、“”或“”) （2）若，探索线段之间的等量关系，并加以证明． （3）问题解决:如图2．在四边形中， 以为顶点作的两边分别交于两点，连接，探索线段之间的数量关系，并加以证明． 7．如图，在矩形中，，，点在的延长线上，点在上，且有． （1）如图1，当时，若，求证：； （2）如图2，当时， ①请直接写出与的数量关系：_________； ②当点是中点时，求证：； ③在②的条件下，请直接写出的值． 8．如图（1） 将三角板ABC与∠DAE摆放在一起，射线AE与AC重合，射线AD在三角形ABC外部，其中∠ACB＝30°，∠B＝60°，∠BAC＝90°，∠DAE＝45°．固定三角板ABC，将∠DAE绕点A按顺时针方向旋转，如图（2），记旋转角∠CAE＝α． （1）当α为60°时，在备用图（1）中画出图形，并判断AE与BC的位置关系，并说明理由； （2）在旋转过程中，当0°＜α＜180°，∠DAE的一边与BC的平行时，求旋转角α的值； （3）在旋转过程中，当0°＜α≤90°时，探究∠CAD与∠BAE之间的关系． （温馨提示：对于任意△ABC，都有∠A＋∠B＋∠C＝180°） 9．如图，A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（﹣3，0），D为x轴上的一个动点且不与B，O重合，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得线段AE，使得AE⊥AD，且AE＝AD，连接BE交y轴于点M． （1）如图，当点D在线段OB的延长线上时， ①若D点的坐标为（﹣5，0），求点E的坐标． ②求证：M为BE的中点． ③探究：若在点D运动的过程中，的值是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． （2）请直接写出三条线段AO，DO，AM之间的数量关系（不需要说明理由）．    10．如图，四边形是菱形，点在边上，点在菱形外部，且满足，，连接，，取的中点，连接，． (1)探究与位置关系． (2)若，探究线段、与的数量关系，并说明理由． (3)若，在的延长线上时，其余条件不变，，，请求出的长度． 11．（1）观察图形：如图1，中，，，，，垂足分别为、，与交于点． ①线段与线段的数量关系是______； ②写出图1中所有的全等三角形______； （2）问题探究：如图2，中，，，平分，，垂足为，与交于点．试探究和的数量关系，并证明． （3）拓展延伸： 如图3，中，，，点在上，，