专题05解析几何专练-2024届高考数学二轮复习

【高考二轮专题训练系列】 2024高考数学（新高考适用） 专题05 解析几何 题型训练 1. （2023·新高考Ⅰ）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为． 求的方程； 已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于． 2. （2023•新高考Ⅱ）已知双曲线中心为坐标原点，左焦点为，，离心率为． （1）求的方程； （2）记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点，在第二象限，直线与交于，证明在定直线上． 3. （2022•新高考Ⅰ）已知点在双曲线上，直线交于 ，两点，直线，的斜率之和为0． （1）求的斜率； （2）若，求的面积． 4. （2022•新高考Ⅱ）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． （1）求的方程； （2）过的直线与的两条渐近线分别交于，两点，点，，，在上，且，．过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①在上；②；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 5. （2023•上海•统考高考真题）已知抛物线，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为． （1）若到抛物线准线的距离为3，求的值； （2）当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离； （3）直线，抛物线上有一异于点的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为．若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围． 6. （2023·重庆·统考二模）过抛物线的焦点作斜率分别为的两条不同的直线，且相交于点，，相交于点，．以，为直径的圆，圆为圆心的公共弦所在的直线记为． (1)若，求； (2)若，求点到直线的距离的最小值． 7. （2023·广东·校联考模拟预测）已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为．点，直线：． (1)证明：直线与椭圆相交于两点，且每一点与的连线都是椭圆的切线； (2)若过点的直线与椭圆交于两点，与直线交于点，求证：． 8. （2023·湖北武汉·统考模拟预测）过坐标原点作圆的两条切线，设切点为，直线恰为抛物的准线. (1)求抛物线的标准方程； (2)设点是圆上的动点，抛物线上四点满足：，设中点为. （i）求直线的斜率； （ii）设面积为，求的最大值. 9. （2023·山东泰安·统考一模）已知椭圆：的左，右焦点分别为，，离心率为，是椭圆上不同的两点，且点在轴上方， ，直线，交于点.已知当轴时，. (1)求椭圆的方程； (2)求证：点在以，为焦点的定椭圆上. 10. （2023•天津南开•区二模）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，坐标原点O到直线AD的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）过A点作两条互相垂直的直线AP，AQ与椭圆交于P，Q两点，求△BPQ面积的最大值． 11. （2023•江苏南京·鼓楼区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，设F为椭圆 C： + ＝1（a＞b＞0）的左焦点，直线x＝﹣ 与x轴交于点P，M为椭圆 C的左顶点，已知椭圆长轴长为8，且＝2． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若过点P的直线与椭圆交于两点A，B，设直线AF，BF的斜率分别为k1，k2． ①求证：k1+k2为定值； ②求△ABF面积的最大值． 12. （2023•广东佛山·模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 Γ：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，抛物线Γ上不同两点M，N同时满足下列三个条件中的两个：①|FM|+|FN|＝|MN|；②|OM|＝|ON|＝|MN|＝8；③直线MN的方程为y＝6p． （1）请分析说明两点M，N满足的是哪两个条件？并求抛物线Γ的标准方程； （2）过抛物线Γ的焦点F的两条倾斜角互补的直线AB和CD交抛物线Γ于A，B，C，D，且A，C两点在直线BD的下方，求证：直线AD，BC的倾斜角互补并求直线AD，BC的交点坐标． 13. （2023•吉林长春·模拟）已知双曲线C上的所有点构成集合 P＝{（x，y）|ax2﹣by2＝1（a＞0，b＞0）}和集合 Q＝{（x，y）|0＜ax2﹣by2＜1（a＞0，b＞0）}，坐标平面内任意点N（x0，y0），直线l：ax0x﹣by0y＝1称为点N关于双曲线C的“相关直线”． （1）若N∈P，判断直线l与双曲线C的位置关系，并说明理由； （2）若直线l与双曲线C的一支有2个交点，求证：N∈Q； （3）若点N∈Q，点M在直线l上，直线MN交双曲线C于A，B，求证：． 14. （2022•浙江·统考高考真题）如图，已知椭圆．设，是椭圆上异于 的两点，且点在线段上，直线，分别交直线 于 ，两点． （Ⅰ）求点到椭圆上点的距离的最大值； （Ⅱ）求的最小值． 15. （2022·湖南·模拟预测）如果实数，满足，求： （1）的最大值与最小值； （2