12.4 复数的三角形式（六大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）

12.4 复数的三角形式 课程标准 学习目标 （1）培养转化，逻辑推理及数学运算能力； （2）通过对复数的乘、除运算及其几何意义的学习，培养学生直观想象、数学运算、数学建模等数学素养。 （1）掌握复数的三角形式，能够进行两种形式的转化 （2）会进行复数三角形式的乘除运算； （3）理解复数乘、除运算的三角表示的几何意义. 知识点01 复数的三角形式 1、复数的辐角 以轴的正半轴为始边、向量OZ所在的射线为终边的角，叫做复数的辐角． 适合于的辐角的值，叫辐角的主值．记作：，即． 2、复数的三角表达式 一般地，任何一个复数都可以表示成的形式．其中，是复数的模；是复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来叫做复数的代数表示式，简称代数形式． 注意：复数三角形式的特点 模非负，角相同，余弦前，加号连 3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件： 两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等． 【即学即练1】（2024·高一·全国·课时练习）的三角形式是 ． 知识点02 复数的三角形式乘、除运算 1、复数三角形式的乘法及其几何意义 设、的三角形式分别是：，． 则． 简记为：模数相乘，幅角相加 几何意义：把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是． 2、复数三角形式的除法及其几何意义 设、的三角形式分别是：，． 则． 简记为：模数相除，幅角相减 几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是． 【即学即练2】复数的值是（    ） A． B．16 C． D． 题型一：复数的三角形式 【典例1-1】（2024·高一课时练习）下列各式中已表示成三角形式的复数是（    ）. A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高一课时练习）复数在复平面对应的点绕原点逆时针旋转所得点对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·高一课时练习）复数改写成三角形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·高一·全国·随堂练习）判断下列复数是不是复数的三角形式，并说明理由. (1)； (2)． 【方法技巧与总结】 解题总结（复数三角形式的判断依据和变形步骤） （1）判断依据：三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连． （2）变形步骤：首先确定复数z对应点所在象限（此处可假定θ为锐角），其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角．此步骤可简称为“定点→定名→定角”． 题型二：复数的代数形式表示成三角形式 【典例2-1】（2024·高一·全国·课时练习）把复数（i为虚数单位）改写成三角形式为 ． 【典例2-2】（2024·高一·全国·课时练习）将复数表示成三角形式是 ．（用辐角主值） 【变式2-1】（2024·高一·全国·课时练习）（）改写成三角形式为 ． 【变式2-2】（2024·高一·上海闵行·期末）将复数化为三角形式： ． 【方法技巧与总结】 解题总结：（复数的代数形式化三角形式的步骤） （1）先求复数的模； （2）决定辐角所在的象限； （3）根据象限求出辐角（常取它的主值）； （4）写出复数的三角形式． 题型三：把复数表示成代数形式 【典例3-1】（2024·高一·全国·课前预习）将复数z＝化为代数形式为 ． 【典例3-2】（2024·高一·全国·课时练习）复数10表示成代数形式为 ． 【变式3-1】（2024·高一·全国·课时练习）设复数，那么的共轭复数的代数形式是 ． 【变式3-2】（2024·高一·全国·课时练习）将复数z=3化成代数形式为 ;|z|= . 【变式3-3】（2024·高一·全国·课时练习）将复数化为代数形式为 【方法技巧与总结】 解题总结（把复数表示成代数形式的注意事项） （1）类似三角形式的复数求模和辐角时，注意三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连． （2）由三角形式表示成代数形式，直接求出角的三角函数值，化简即可． 题型四：复数的三角形式乘法运算 【典例4-1】（2024·高一·全国·课时练习）如果，那么复数的三角形式是（　　） A． B． C． D． 【典例4-2】（2024·高一·湖北武汉·期末）已知i为虚数单位，则（    ） A． B．1 C． D．i 【变式4-1】（2024·高一·江苏盐城·期末）欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）由瑞士数学家（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则下列运算一定正确