12.3 复数的几何意义（六大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）

12.3 复数的几何意义 课程标准 学习目标 （1）能类比平面向量加、减运算的几何意义，探索复数加、减运算的几何意义，能用自己的语言解释复数加、减运算的几何意义． （1）了解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系. （2）掌握实轴、虚轴、模等概念. （3）理解向量加法、减法的几何意义，能用几何意义解决一些简单问题． 知识点01 复数的几何意义 1、复平面、实轴、虚轴： 如图所示，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴 知识点诠释： 实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2、复数集与复平面内点的对应关系 按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应． 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数复平面内的点 这是复数的一种几何意义． 3、复数集与复平面中的向量的对应关系 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数． 设复平面内的点表示复数，向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定． 复数集和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即 复数平面向量 这是复数的另一种几何意义． 4、复数的模 设，则向量的长度叫做复数的模，记作． 知识点诠释： ①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小． ②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等． 【即学即练1】（2024·高一·辽宁大连·期中）复数对应的点在第四象限，则角是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 知识点02 复数的加减运算的几何意义 1、复数的表示形式： 代数形式：（） 几何表示： ①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）； ②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数． 知识点诠释： 复数复平面内的点平面向量 2、复数加、减法的几何意义： 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量．对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量． 设复数，，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为，以、为邻边作平行四边形，则对角线对应的向量是， 由于，所以和的和就是与复数对应的向量． 知识点诠释： 要会运用复数运算的几何意义去解题，利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理 【即学即练2】（2024·高一·福建龙岩·期中）已知复数及复数． (1)求，并在复平面内用向量表示出其运算的几何意义； (2)求． 题型一：复数与复平面内的点的关系 【典例1-1】（2024·高一·黑龙江大庆·期末）已知复数，则z的共轭复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典例1-2】（2024·高二·内蒙古兴安盟·期中）若复数在复平面内对应的点在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·高一·广西河池·阶段练习）在复平面内，若复数对应的点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（21-22高一·全国·课时练习）在复平面内，复数， （i为虚数单位）对应的点分别为A，B，若点C为线段AB的中点，则点C对应的复数为（    ） A． B．1 C．i D．i 【变式1-3】（2024·高一·山东滨州·期末）已知复数的共轭复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【方法技巧与总结】 利用复数与点的对应关系解题的步骤 （1）找对应关系：复数的几何表示法即复数可以用复平面内的点来表示，是解决此类问题的根据． （2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解． 题型二：复数与复平面内的向量的关系 【典例2-1】（2024·高一·全国·课时练习）设复数对应的向量为，复数对应的复数为，则（　　） A．按逆时针旋转，再拉伸2倍得到 B．按顺时针旋转，再拉伸2倍得到 C．按逆时针旋转，再压缩倍得到 D．按顺时针旋转，再压缩倍得到 【典例2-2】（2024·高三·北京大兴·期末）已知复数z对应的向量如图所示，则复数z+1所对应的向量正确的是 A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·高三·江苏常州·期末）在复平面内，复数对应的向量为，复数对应的向量为，那么向量对应的复数是（   ） A．1 B． C． D． 【变式2-2】（2024·高一·河南