12.2 复数的运算（七大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）

12.2 复数的运算 课程标准 学习目标 （1）能在数系扩充基本思想指导下探索复数的加法法则，能用自己的语言阐释复数的加法法则，说明法则的合理性；能证明复数的加法满足交换律、结合律；会依据复数的加法法则进行运算；能说明复数的减法法则的合理性． （2）能在数系扩充基本思想指导下探索复数的乘法法则，能用自己的语言解释复数的乘法法则；会依据复数的乘法法则进行运算；能说出共轭复数的性质． （3）能类比实数除法的法则，探索复数除法的法则，能说明复数除法法则的合理性；会依据复数除法的法则进行复数除法运算． （1）掌握复数代数表示式的四则运算． 知识点01 复数的加减运算 1、复数的加法、减法运算法则： 设，（），我们规定： 知识点诠释： （1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样．很明显， 两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形． （2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式． 2、复数的加法运算律： 交换律： 结合律： 【即学即练1】（2024·高一·全国·专题练习）化简下列复数 (1) (2) 知识点02 复数的乘除运算 1、乘法运算法则： 设，（），我们规定： 知识点诠释： （1）两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． （2）在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数（分母实数化），化简后写成代数形式． 2、乘法运算律： （1）交换律： （2）结合律： （3）分配律： 【即学即练2】（2024·高一·全国·专题练习）计算 (1) (2) (3) 题型一：复数代数形式的加、减运算 【典例1-1】（22-23高一·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【典例1-2】（22-23高一·全国·随堂练习）计算下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 【变式1-1】（22-23高一·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-2】（22-23高一·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【方法技巧与总结】 解决复数加减运算的思路 两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）．复数的减法是加法的逆运算．当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）． 题型二：复数代数形式的乘法运算 【典例2-1】（2024·高一·全国·专题练习）计算 (1) (2) (3) 【典例2-2】（22-23高一·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-1】（22-23高一·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-2】（22-23高一·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-3】（22-23高一·全国·课堂例题）计算 【方法技巧与总结】 （1）两个复数代数形式乘法的一般方法 ①首先按多项式的乘法展开． ②再将换成． ③然后再讲行复数的加、减运簯． （2）常用公式 ①． ②． ③． 题型三：共轭复数的概念 【典例3-1】（2024·高三·北京·开学考试）已知复数的共轭为，若，则的实部为（    ） A．1 B． C． D．i 【典例3-2】（2024·海南海口·模拟预测）已知，则复数的共轭复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·高一·黑龙江大庆·期末）若复数z满足：，则的共轭复数的虚部为（    ） A．-2 B．i C．0 D．2 【变式3-2】（多选题）（2024·高一·浙江绍兴·期末）已知i是虚数单位，，复数，共轭，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（22-23高一·全国·课时练习）对于任意虚数z，的共轭一定是 ，一定是 ，一定是 ，一定是 【变式3-4】（2024·高三·四川绵阳·阶段练习）已知i是虚数单位，若复数满足，则的共轭复数的虚部为 . 【方法技巧与总结】 （1）有关复数及其共轭复数的题目，注意共轨复数的性质：（1）设，则 （2）紧紧抓住复数相等的充要条件，把复数问题转化成实数问题是解决本题的关键，正确熟练地进行复数运算是解题的基础． 题型四：复数代数形式的除法运算 【典例4-1】（2024·高三·天津南开·阶段练习）已知是虚数单位，复数 ． 【典例4-2】（2024·四川成都·模拟预测）已知i为虚数单位，计算： ． 【变式4-1】（202