专题04空间向量与立体几何-2024届高三数学二轮复习压轴题型分类专练（新高考用）

【高考二轮专题训练系列】 2024高考数学（新高考适用） 专题04 空间向量与立体几何 题型训练 1. （2023•新高考Ⅰ）如图，在正四棱柱中，，．点，，，分别在棱，，，上，，，． 证明：； 点在棱上，当二面角为时，求． 2. （2023•新高考Ⅱ）如图，三棱锥中，，，，为中点． （1）证明； （2）点满足，求二面角的正弦值． 3. （2022•新高考Ⅰ）如图，直三棱柱的体积为4，△的面积为． （1）求到平面的距离； （2）设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 4. （2022•新高考Ⅱ）如图，是三棱锥的高，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若，，，求二面角的正弦值． 5. （2023•上海·统考高考真题）已知直四棱柱，，，，，． （1）证明：直线平面； （2）若该四棱柱的体积为36，求二面角的大小． 6. （2023•河北保定•区联考二模）如图，四棱台ABCD﹣EFGH的底面是菱形，且∠BAD＝，DH⊥平面ABCD，EH＝2，DH＝3，AD＝4． （1）求证：AE∥平面BDG； （2）求三棱锥 F﹣BDG的体积． 7. （2023•新疆乌鲁木齐·统考模拟）在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝3，过点A作AD⊥BC，交线段BC于点D（如图1），沿AD将△ABD折起，使∠BDC＝90°（如图2）点E，M分别为棱BC，AC的中点． （1）求证：CD⊥ME； （2）求三棱锥A﹣BCD的体积最大值． 8. （2023•广东广州·校级模拟）图①是直角梯形ABCD，AB∥CD，∠D＝90°，四边形ABCE是边长为2的菱形，并且∠BCE＝60°，以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达C1的位置，且AC1＝． （1）求证：平面BC1E⊥平面ABED； （2）在棱DC1上是否存在点P，使得点P到平面ABC1的距离为？若存在，求出直线EP与平面ABC1所成角的正弦值；若不存在，请说明理由． 9. （2023•浙江温州·统考模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，△ADP是等边三角形，AB＝AP＝2，BP＝3，AD⊥BP． （Ⅰ）求BC的长度； （Ⅱ）求直线BC与平面ADP所成的角的正弦值． 10. （2023•上海奉贤•二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°． （1）证明：平面PAB⊥平面PAD； （2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为， 求PB与平面ABCD所成的线面角的大小． 11. （2023·江苏徐州·统考模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，底面四边形ABCD是矩形，PA＝AD＝4，点M，N分别为棱PB，PD的中点，点E在棱AD上，AD＝3AE． （1）求证：直线AM∥平面BNE； （2）从下面①②两个条件中选取一个作为已知，证明另外一个成立． ①平面PAB与平面PCD的交线l与直线BE所成角的余弦值为； ②二面角N﹣BE﹣D的余弦值为． 注：若选择不同的组合分别作答，则按第一个解答计分． 12. （2023·江西·模拟预测）如图所示，圆锥的高，底面圆O的半径为1，延长直径AB到点C，使得BC＝1，分别过点A，C作底面圆O的切线，两切线相交于点E，点D是切线CE与圆O的切点． （1）证明：平面PDE⊥平面POD； （2）点E到平面PAD的距离为d1，求d1的值． 13. （2023·山东枣庄·校级模拟）在直角梯形AA1B1B中，A1B1∥AB，AA1⊥AB，AB＝AA1＝2A1B1＝6，直角梯形AA1B1B绕直角边AA1旋转一周得到如下图的圆台A1A，已知点P，Q分别在线段CC1，BC上，二面角B1﹣AA1﹣C1的大小为θ． （1）若θ＝120°，，AQ⊥AB，证明：PQ∥平面AA1B1B； （2）若θ＝90°，点P为CC1上的动点，点Q为BC的中点，求PQ与平面AA1C1C所成最大角的正切值，并求此时二面角Q﹣AP﹣C的余弦值． 14. （2023·黑龙江哈尔滨·校级四模）如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝2，∠DAB＝60°，点E，F在以AD为直径的半圆上，且＝＝，将半圆沿AD翻折如图2． （1）求证：EF∥平面ABCD； （2）当多面体ABE﹣DCF的体积为4时，求平面ABE与平面CDF夹角的余弦值． 15. （2022·浙江·统考高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设，分别为，的中点． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 答案&解析 【1】 【解析】（1）证明：根据题意建系如图，则有： ，2，，，0，，，2，，，0，， ，， ，又，，，四点不共线， ； （2）在（1）的坐标系下，可设，2，，，，