专题1.11 三角形的证明章末十二大题型总结（拔尖篇）-2023-2024学年八年级数学下册举一反三系列（北师大版）

专题1.11 三角形的证明章末十二大题型总结（拔尖篇） 【北师大版】 【题型1 由勾股定理求两条线段的平方和（差）】 1 【题型2 勾股定理在网格问题中的运用】 3 【题型3 翻折变换】 4 【题型4 两圆一线画等腰】 6 【题型5 等边三角形手拉手问题】 7 【题型6 分身等腰】 8 【题型7 一线分二腰】 10 【题型8 角平分线的综合应用】 12 【题型9 垂直平分线的综合应用】 13 【题型10 直角三角形斜边中线的综合应用】 15 【题型11 由勾股定理确定在几何体中的最短距离】 17 【题型12 由勾股定理构造图形解决实际问题】 19 【题型1 由勾股定理求两条线段的平方和（差）】 【例1】（2023春·陕西咸阳·八年级校考阶段练习）如图，射线于点、点、在、上，为线段的中点，且于点． （1）若，直接写出的值； （2）若，的周长为24，求的面积； （3）若，点在射线上移动，问此过程中，的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请求出它的取值范围． 【变式1-1】（2023·福建·模拟预测）如图所示，已知中，，，于，为上任一点，则等于 ． 【变式1-2】（2023春·全国·八年级专题练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O，若，，则 ． 【变式1-3】（2023春·福建莆田·八年级校联考期中）在平面直角坐标系中，已知点，．    (1)如图1，判断的形状并说明理由； (2)如图2，M，N分别是y轴负半轴和x轴正半轴上的点，且，探究线段，，之间的数量关系并证明； (3)如图3，延长交y轴于点C，M，N分别是x轴负半轴和y轴负半轴上的点，连接交x轴于D，且，探究，，的数量关系并证明． 【题型2 勾股定理在网格问题中的运用】 【例2】（2023春·浙江·八年级期末）在每个小正方形的边长为1的网格图形中．每个小正方形的顶点称为格点.以顶点都是格点的正方形的边为斜边，向外作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点都是格点，且四边形为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在图1所示的格点弦图中，正方形的边长为，此时正方形的面积为．问：当格点弦图中的正方形的边长为时，正方形的面积的所有可能值是 (不包括)． 【变式2-1】（2023春·福建三明·八年级统考期中）问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上： ； 思维拓展： （2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为a，2a，a（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积． 探索创新： （3）若△ABC三边的长分别为（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积． 【变式2-2】（2023春·湖北武汉·八年级校考期中）在10×10网格中，点A和直线l的位置如图所示：    （1）将点A向右平移6个单位，再向上平移2个单位长度得到点B，在网格中标出点B； （2）在（1）的条件下，在直线l上确定一点P，使PA＋PB的值最小，保留画图痕迹，并直接写出PA＋PB的最小值：______； （3）结合（2）的画图过程并思考，直接写出＋的最小值：____ 【变式2-3】（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，是由边长为1的小正方形构成的10×10网格，每个小正方形的顶点叫做格点．五边形ABCDE的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题： （1）五边形ABCDE的周长为　 　． （2）在AB上找点F，使E，C两点关于直线DF对称； （3）设DF交CE于点G，连接AG，直接写出四边形AEDG的面积； （4）在直线DF上找点H，使∠AHB＝135°． 【题型3 翻折变换】 【例3】（2023春·福建泉州·八年级统考期末）在中，，，点D是边上一点，将沿翻折后得到．    (1)如图1，当点E落在上时，求的度数； (2)当点E落在下方时，设与相交于点F． ①如图2，若，试说明：； ②如图3，连接平分交的延长线于点G，交于点H．若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【变式3-1】（2023春·辽宁丹东·八年级统考期末）在锐角中，，将沿翻折得到，直线与直线相交于点E，若是等腰三角形，则的度数为 ． 【变式3-2】