大题强化及变式训练（8）-2024届高三数学二轮复习大题强化及变式训练（新高考九省联考题型）

2024届大题强化训练及变式训练（8） 1．已知函数 （1）求在处的切线方程; （2）记函数 ,若 恒成立，求实数a的最大值. 变式：已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上恒成立，求实数a的取值范围． 2．如图，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，点是圆上异于点，的任意一点. （1）若点到平面的距离为，证明：. （2）求与平面所成角的正弦值的取值范围. 变式：如图所示，半圆柱的轴截面为平面，是圆柱底面的直径，为底面圆心，为一条母线，为的中点，且. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 3．为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表. （1）若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联； （2）从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求ξ的分布列与期望； （3）已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为 ，求小明星期天选择跑步的概率. 参考公式： 附： α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 变式：某制药公司研发一种新药，需要研究某种药物成分的含量（单位：）与药效指标值（单位：）之间的关系，该公司研发部门进行了20次试验，统计得到一组数据（，2，⋯，20），其中，分别表示第次试验中这种药物成分的含量和相应的药效指标值，已知该组数据中与之间具有线性相关关系，且，，，，. （1）求关于的经验回归方程； （2）该公司要用与两套设备同时生产该种新药，已知设备的生产效率是设备的2倍，设备生产药品的不合格率为0.009，设备生产药品的不合格率为0.006，且设备与生产的药品是否合格相互独立. ①从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率； ②在该新药产品检验中发现有三件不合格品，求其中至少有两件是设备生产的概率. 参考公式：，. 4．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，为上一点，. （1）求的方程； （2）若是上异于点的两个动点，且点不关于轴对称，，过点作轴的垂线交直线于点，记的面积为，的面积为，求. 变式：已知过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，当直线垂直于轴时，的面积为. （1）求抛物线的方程； （2）若为的重心，直线分别交轴于点，记的面积分别为，求的取值范围. 5．在无穷数列中，令，若，，则称对前项之积是封闭的． （1）试判断：任意一个无穷等差数列对前项之积是否是封闭的？ （2）设是无穷等比数列，其首项，公比为．若对前项之积是封闭的，求出的两个值； （3）证明：对任意的无穷等比数列，总存在两个无穷数列和，使得，其中和对前项之积都是封闭的． 变式：对于无穷数列，若对任意，且，存在，使得成立，则称为“数列”. （1）若数列的通项公式为，试判断数列是否为“数列”，并说明理由； （2）已知数列为等差数列， ①若是“数列”，，且，求所有可能的取值； ②若对任意，存在，使得成立，求证：数列为“数列”. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024届大题强化训练及变式训练（8） 1．已知函数 （1）求在处的切线方程; （2）记函数 ,若 恒成立，求实数a的最大值. 【答案】(1) (2)见解析；② 【分析】（1）通过导数的几何意义计算即可； （2）将问题转化为恒成立，得出符合题意，再利用导数去证明即可. 【解析】(1)，， 故，所以在处的切线方程为：. 即. (2)因为，所以一定有，即（必要性）； 当时， 令， 令，在上恒成立， 所以在上单调递增，， 所以，故在上单调递增，， 故，满足充分性. 综上，实数a的取值范围为. 所以实数a的最大值为. 变式：已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）由给定条件求出的导数，进而求得切线斜率即可得解； （2）分离参数得，设，利用导数得，可得a的取值范围. 【解析】（1）当时，，， 则，而， 所以曲线在点处的切线方程为； （2），由，得， 设，则， 令，得， 则时，，函数单调递增，