5.1.1正弦函数的图象（教学设计）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第二册）

北师大版必修第二册第一章《三角函数》 《5.1.1正弦函数的图象》教学设计 【教学目标】 1.理解几何描点法作正弦曲线的方法；（直观想象） 2.理解正弦曲线的意义； 3.掌握用“五点法”作出正弦函数的图象.（数学运算） 【教学重点】 1.利用“五点法”作出正弦函数的简图； 2.通过图象对正弦函数的性质再认识，并简单运用性质解决问题. 【教学难点】 利用几何法作出正弦函数的图象 【教学过程】 一、复习回顾，提出问题 在第4..2节中，我们借助单位圆学习了正弦函数y＝sin x、余弦函数y＝cos x的性质 性质 正弦函数(y＝sin x) 余弦函数(y＝cos x) 定义域 R 值域 [－1，1] 最小值 当x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 当x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 最大值 当x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1 当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1 周期性 周期函数，最小正周期为2π 单调性 在区间[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z上单调递增； 在区间[＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z上单调递减 在区间[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上单调递减； 在区间[π＋2kπ，2π＋2kπ]，k∈Z上单调递增 （1）怎么画出正弦函数y＝sin x的图象？ （2）画函数图象的一般方法？ 描点法 （3）用描点法作函数图象的步骤是什么？ 描点法——列表，描点，连线 二、画法探究，得出图象 由于正弦函数y＝sin x是以2π为周期，因此我们先画出 [0，2π] 上正弦函数的图象，再利用周期性将其延伸拓展到R上. 【共同探究】函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象. 描点法——列表，描点，连线 （1）列表y＝sin x，x∈ [0，2π] x 0 y 0 1 0 －1 0 （2）几何描点法 1）如何在平面直角坐标系中画出点？ 2）能否借助上面作点的方法，在直角坐标系中作出正弦函数的图象？ 作图步骤： ①作单位圆，把⊙O12等分 ②单位圆12等分后得到对应与0，，，，，，，，，，，，的角，并作出相应的正弦值； ③将x轴上从0到2π一段分成12等分； ④平移相应角的正弦值； （3）连线 用光滑曲线顺次连接，就得到函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，如下图所示： （4）作y＝sin x，x∈R上的图象 由周期性可知，函数y＝sin x在区间[2kπ，2(k+1)π]，k∈Z, k≠0上与在区间[0，2π]上的函数图象形状完全相同，将函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象向左、向右平移（每次平移2π个单位长度），就可以得到y＝sin x，x∈R的图象，如图1-35所示 三、探究五点作图法，迁移应用 请观察正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，你认为哪些点起着关键性的作用？同学们可以从特殊点：零点，最高点，最低点观察. 0，π，2π是函数y＝sin x的零点，是函数y＝sin x的最大值点，是函数y＝sin x的最小值点，它们在正弦曲线中起着关键作用. 根据正弦曲线的基本性质，描出(0，0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)这五个关键点后，函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象就基本确定了.因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们顺次连接起来，就可以得到正弦函数的简图.这种作正弦曲线的方法称为“五点(画图)法”. 思考：利用五点法画图，作函数y＝sin 2x在区间[0，π]上的图象时，x如何取值，才能取出五点？ 在[0，π]上，①根据函数的零点，当sin 2x=0时， 2x=0，π，2π，所以对应x=0，，π； ②根据最大值，当sin 2x=1时，2x=，所以x=； ③根据最小值，当sin 2x=1时，2x=，所以x=. 因此列表如下 2x 0 π 2π x 0 π sin 2x 0 1 0 －1 0 【方法总结】 1.“五点法”作图步骤： 利用“五点法”作正弦型函数的图象时，先令相位整体依次取0，，π，，2π，可求出对应的x，y的值并列表，再描点连线，即得该函数在一个周期上的简图. 应用一、利用五点作图法画出与正弦函数有关的图象 课本P31例2 例2 画出函数y＝－sin x在区间[0，2π]上的图象. 列表如下 x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 －sin x 0 －1 0 1 0 描点，并用光滑的曲线将它们顺次连接起来，就画出函数y＝－sin x在区间[0，2π]上的图象.，如图1-40所示： 观察图1-40，函数