河北省秦皇岛市新世纪高级中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷

2023-2024学年河北省秦皇岛市新世纪高级中学高二（下）开学数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.点到直线：的距离是(    ) A. B. C. D. 2.已知双曲线，则其渐近线方程为(    ) A. B. C. D. 3.“今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤两百丈，“这是我国古代数学名著九章算术卷第五“商功”中的问题意思为“现有城如图，等腰梯形的直棱柱体，下底长丈，上底长丈，高丈，纵长丈丈尺”，则该问题中“城”的体积等于(    ) A. 立方尺 B. 立方尺 C. 立方尺 D. 立方尺 4.文椭圆的一个焦点与短轴的两端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为(    ) A. B. C. D. 不确定 5.圆：与圆：的公切线有(    ) A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 6.已知点是抛物线：的焦点，是上的一点，，则(    ) A. B. C. D. 7.双曲线的两个焦点为、，点在双曲线上，若，则点到轴的距离为(    ) A. B. C. D. 8.已知直线：与椭圆交于，两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的焦距为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.方程表示圆，则的可能取值是(    ) A. B. C. D. 10.已知直线：，则下列结论正确的是(    ) A. 直线的倾斜角是 B. 过点与直线平行的直线是 C. 直线到直线的距离为 D. 若直线：，则 11.方程表示的曲线为，下列正确的命题是(    ) A. 曲线可以是圆 B. 若，则曲线为椭圆 C. 曲线可以表示抛物线 D. 若曲线为双曲线，则或 12.如图所示，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，为侧面的一动点，下列说法正确的是(    ) A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 若的面积为，则动点的轨迹为椭圆的一部分 C. 若点到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹为抛物线的一部分 D. 过直线的平面与面所成角最小时，平面截正方体所得的截面面积为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.已知抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为______． 14.已知直线：和圆心为的圆，则直线被圆截得的弦长为______． 15.设为椭圆上的一点，，是该椭圆的两个焦点，若：：，则的面积为______． 16.设点是曲线右支上一动点，为左焦点，点是圆上一动点，则的最小值是______． 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知顶点、、． Ⅰ求边上中线所在的直线方程； Ⅱ求边上高线所在的直线方程． 18.本小题分 已知椭圆：的离心率为且椭圆经过点． 求椭圆的方程； 过椭圆的左焦点作斜率为的直线交椭圆于、两点，求． 19.本小题分 已知圆经过点和，且圆关于直线对称． 求圆的方程； 过点作直线与圆相切，求直线的方程． 20.本小题分 如图，已知正三棱柱，是的中点，是的中点，且，． 证明：平面； 求二面角的余弦值． 21.本小题分 已知双曲线的方程为，离心率为，右顶点为． 求双曲线的标准方程； 过的直线与双曲线的一支交于、两点，求的取值范围． 22.本小题分 已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合． 求抛物线的方程； 已知动直线过点，交抛物线于、两点，坐标原点为中点，求证：； 是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：点到直线：的距离． 故选：． 利用点到直线的距离公式直接求解． 本题考查点到直线的距离的求法，考查点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 2.【答案】  【解析】解：双曲线，可得，， 所以渐近线方程为，即． 故选：． 直接利用双曲线方程求出，，求解渐近线方程． 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题． 3.【答案】  【解析】解：由题意，计算直四棱柱的底面积为平方尺； 因为直四棱柱的高为丈尺， 所以问题中“城”的体积即直四棱柱的体积为立方尺． 故选：． 由题意求出直四棱柱的底面积，再由棱柱的体积公式计算即可． 本题考查了直四棱柱体积的计算问题，是基础题． 4.【答案】  【解析】解：由题意，椭圆的短轴的两个端点与椭圆的一个焦点构成正三角形 ，， ． 故选：． 根据椭圆的短轴的两个端点与椭圆的一个焦点构成正三角形，得到，，的关系，又根据椭圆的基本性质可知，把可用表示出，然后根据离心率