精品解析：湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一下学期寒假检测（开学考试）数学试题

长郡中学2024年高一寒假作业检测 数学 命题人： 审题人： 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“∀x＞0，都有x2﹣x+3≤0”的否定是（　　） A. ∃x＞0，使得x2﹣x+3≤0 B. ∃x＞0，使得x2﹣x+3＞0 C. ∀x＞0，都有x2﹣x+3＞0 D. ∀x≤0，都有x2﹣x+3＞0 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列选项中满足最小正周期为，且在上单调递增的函数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. 3 D. 5. 生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减(称为衰减率)，P与死亡年数t之间的函数关系式为(其中a为常数)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的79%，则可推断该文物属于（ ）参考数据：. 参考时间轴： A. 战国 B. 汉 C. 唐 D. 宋 6. 已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为 A. B. C. D. 7. 已知函数的部分图像如图所示，则（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 函数关于直线对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数在区间上的最大值是 8. 已知函数与函数的值域相同，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分） 9. 已知向量，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与向量平行的单位向量仅有 D. 向量在向量上的投影向量为 10. 某摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点）．现4号座舱位于圆周最上端，从此时开始计时，旋转时间为分钟．假设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系为，1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为米，则（ ） A. 当时， B. 当时， C ， D. 若在这段时间内，恰有三次取得最大值，则的取值范围为 11. 已知函数满足：，，都有成立，则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数偶函数 C. 函数是周期函数 D. ，，若，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，在中，为边上的中线，为的中点，若，则______． 13. 若，，则tanα＝__________． 14. 我们知道，设函数的定义域为，如果对任意，都有，且，那么函数的图象关于点成中心对称．若函数的图象关于点成中心对称，则实数的值为______；若，则实数的取值范围是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 化简求值： （1）； （2）已知，求的值． 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明； （3）解不等式． 17. 某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点为半圆上一点（异于，），点在线段上，且满足．已知，，设． （1）了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大．当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果？ （2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大．当为何值时，工艺礼品达到最佳稳定性？并求此时的值． 18. 已知函数（，）的最小正周期为，图象的一个对称中心为，将函数图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数的图象． （1）求函数与的解析式； （2）求实数与正整数，使得在内恰有2013个零点． 19. 若存在常数、，使得函数对于同时满足：，，则称函数为“”类函数． （1）判断函数是否为“”类函数？如果是，写出一组值；如果不是，请说明理由； （2）函数是“”类函数，且当时，． ①证明：是周期函数，并求出在上的解析式； ②若，，求最大值和最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长郡中学2024年高一寒假作业检测 数学 命题人： 审题人： 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分